Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2008. december 1., 16:16-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Laurent-sor

Taylor-sor

A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:

Tétel. Ha az f: C $\supset\!\to$ C függvény az értelmezési tartománya egy $z 0$ pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz $z 0$ -ban reguláris), akkor f a $z 0$ pont egy V = B_δ(z₀) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f $z 0$ -beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

(azaz f analitikus $z 0$ -ban).

A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".

Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely

$R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,$

ahol a sor a ∑a_n(z- $z 0$ )ⁿ, a körlap középpontja $z 0$ , és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.

2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,$

természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.

3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

Laurent-sor

A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.

Tétel. Ha az f: C $\supset\!\to$ C függvény olyan, hogy a $\scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}$ pont egy $\scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}$ kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a $z 0$ pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli

$R_-<|z-z_0|<R_+\,$

körgyűrű hogy ezen belül egy

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,$

sor előállítja f-et.

Megjegyzések. 1. A körgyűrű sugarai:

$R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,$

$R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,$

2. Véges $z 0$ komplex szám esetén a Laurent-sor együtthatói:

$n\geq 1:\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z$

azaz pontosan a Taylor-sor együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): f^{(n)}(z_0)}=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

bármilyen a $z 0$ -t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.

@@ 11. sor: / 11. sor: @@
 (azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban).
+A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
+'''Megjegyezzük,''' hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
+:<math>R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,</math>
+ahol a sor a &sum;a<sub>n</sub>(z-<math>z_0</math>)<sup>n</sup>, a körlap középpontja <math>z_0</math>, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = &infin;, 1/&infin; = 0.
+'''2.''' A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
+:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,</math>
+természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
+'''3. ''' Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
+===Laurent-sor===
+A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
+'''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény olyan, hogy a <math> \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}</math> pont egy <math> \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math> kipontozott környezetében az ''f'' függvény reguláris, akkor a <math>z_0</math> pont körül ''f'' Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
+:<math>R_-<|z-z_0|<R_+\,</math>
+körgyűrű hogy ezen belül egy
+:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,</math>
+sor előállítja ''f''-et.
+'''Megjegyzések.''' '''1.''' A körgyűrű sugarai:
+:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math>
+:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math>
+'''2.''' Véges <math>z_0</math> komplex szám esetén a Laurent-sor együtthatói:
+:<math>n\geq 1:\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
+azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
+::<math>f^{(n)}(z_0)}=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
+::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
+bármilyen a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
 [[Kategória:Matematika A3]]

Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A lap 2008. december 1., 16:16-kori változata

Laurent-sor

Taylor-sor

Laurent-sor

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök