Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Taylor-sor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
||
49. sor: | 49. sor: | ||
:<math>n\geq 1:\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | :<math>n\geq 1:\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve: | azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve: | ||
− | ::<math>f^{(n)}(z_0) | + | ::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> |
::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math> | ::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math> | ||
bármilyen a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére. | bármilyen a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére. |
A lap 2008. december 1., 16:16-kori változata
Laurent-sor
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a pont egy kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
Megjegyzések. 1. A körgyűrű sugarai:
2. Véges z0 komplex szám esetén a Laurent-sor együtthatói:
azaz pontosan a Taylor-sor együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.