Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
− | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény olyan, hogy a <math>z_0</math> pont egy <math> \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math> kipontozott környezetében az ''f'' függvény reguláris, akkor a <math>z_0</math> pont körül ''f'' Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli | + | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény olyan, hogy a <math>z_0</math> pont egy <math> \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math> kipontozott környezetében az ''f'' függvény reguláris, akkor a <math>z_0</math> pont körül ''f'' '''Laurent-sorba''' fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli |
:<math>R_-<|z-z_0|<R_+\,</math> | :<math>R_-<|z-z_0|<R_+\,</math> | ||
körgyűrű hogy ezen belül egy | körgyűrű hogy ezen belül egy | ||
41. sor: | 41. sor: | ||
sor előállítja ''f''-et. | sor előállítja ''f''-et. | ||
− | + | '''A körgyűrű sugarai:''' | |
:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math> | :<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math> | ||
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | ||
− | ''' | + | '''Regulárs és főrész.''' A Laurent-sor |
:<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{z-z_0}^n\,</math> | :<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{z-z_0}^n\,</math> | ||
részét a sor '''főrészének,''' a | részét a sor '''főrészének,''' a | ||
52. sor: | 52. sor: | ||
részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük. | részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük. | ||
− | + | '''A Laurent-sor együtthatói:''' | |
:<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
− | ''' | + | '''Főrész nélküli Laurent-sor.''' Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R<sub>-</sub>=0 és az ''f'' függvény a <math>z_0</math> pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben ''f'' a <math>z_0</math>-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha ''f'' ilyen, akkor: |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0</math> | + | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n0^n=c_0</math> |
+ | hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 0<sup>0</sup> hatványt 1-nek értelmezzük. | ||
+ | ''f'' kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke | ||
+ | :<math>\overline{f}(z_0)=c_0</math> | ||
és ezesetben regulárissá tehető és ekkor | és ezesetben regulárissá tehető és ekkor |
A lap 2008. december 1., 16:51-kori változata
Laurent-sor
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a z0 pont egy kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
A körgyűrű sugarai:
Regulárs és főrész. A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
A Laurent-sor együtthatói:
Főrész nélküli Laurent-sor. Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:
hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.
f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
és ezesetben regulárissá tehető és ekkor
azaz pontosan a Taylor-sor együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.