Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2008. december 1., 17:26-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Taylor-sor
2 Laurent-sor

Taylor-sor

A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:

Tétel. Ha az f: C $\supset\!\to$ C függvény az értelmezési tartománya egy $z 0$ pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz $z 0$ -ban reguláris), akkor f a $z 0$ pont egy V = B_δ(z₀) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f $z 0$ -beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

(azaz f analitikus $z 0$ -ban).

A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".

Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely

$R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,$

ahol a sor a ∑a_n(z- $z 0$ )ⁿ, a körlap középpontja $z 0$ , és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.

2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,$

természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.

3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

Laurent-sor

A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.

Tétel. Ha az f: C $\supset\!\to$ C függvény olyan, hogy a $z 0$ pont egy $\scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}$ kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a $z 0$ pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli

$R_-<|z-z_0|<R_+\,$

körgyűrű hogy ezen belül egy

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,$

sor előállítja f-et.

A körgyűrű sugarai

$R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,$

$R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,$

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{z-z_0}^n\,$

részét a sor főrészének, a

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,$

részét a sor reguláris részének nevezzük.

A Laurent-sor együtthatói

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z$

amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a $z 0$ -t egyszer körülölelő zárt görbe.

Főrész nélküli Laurent-sor

Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R_-=0 és az f függvény a $z 0$ pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a $z 0$ -on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:

$\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n0^n=c_0$

hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 0⁰ hatványt 1-nek értelmezzük.

f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke

$\overline{f}(z_0)=c_0$

Világos, hogy ezesetben a $c n$ együtthatók pontosan az f kiterjesztésének Taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:

$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z$

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

bármilyen a $z 0$ -t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.

Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!

$f(x)=\frac{e^z-z-1}{z^2}\,$

Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva $z 2$ -tel. De konkrétan elvégezve:

$f(x)=\frac{1}{z^2}(\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2\cdot 3}z^3+...)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}z+...$

azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:

$f(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+2)!}z^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k+1)(k+1)}z^{k}$

azaz

$f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$\scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}$

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
-==Laurent-sor==
+==Taylor-sor==
-===Taylor-sor===
 A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
@@ 31. sor: / 29. sor: @@
 '''3. ''' Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
-===Laurent-sor===
+==Laurent-sor==
 A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
@@ 41. sor: / 39. sor: @@
 sor előállítja ''f''-et.
-'''A körgyűrű sugarai:'''
+===A körgyűrű sugarai===
 :<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math>
 :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math>
-'''Regulárs és főrész.''' A Laurent-sor
+===Reguláris- és főrész ===
+A Laurent-sor
 :<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{z-z_0}^n\,</math>
 részét a sor '''főrészének,''' a
@@ 52. sor: / 51. sor: @@
 részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük.
-'''A Laurent-sor együtthatói:'''
+===A Laurent-sor együtthatói===
 :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
+amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő zárt görbe.
-'''Főrész nélküli Laurent-sor.''' Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R<sub>-</sub>=0 és az ''f'' függvény a <math>z_0</math> pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben ''f'' a <math>z_0</math>-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha ''f'' ilyen, akkor:
+===Főrész nélküli Laurent-sor===
+Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R<sub>-</sub>=0 és az ''f'' függvény a <math>z_0</math> pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben ''f'' a <math>z_0</math>-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha ''f'' ilyen, akkor:
 :<math>\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n0^n=c_0</math>
 hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 0<sup>0</sup> hatványt 1-nek értelmezzük.
@@ 61. sor: / 62. sor: @@
 ''f'' kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
 :<math>\overline{f}(z_0)=c_0</math>
-és ezesetben regulárissá tehető és ekkor
+Világos, hogy ezesetben a <math>c_n</math> együtthatók pontosan az ''f'' kiterjesztésének '''Taylor-sori együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
-azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
 ::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
 ::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
 bármilyen a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
+'''Példa.''' Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!
+:<math>f(x)=\frac{e^z-z-1}{z^2}\,</math>
+''Megoldás.'' Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva <math>z^2</math>-tel. De konkrétan elvégezve:
+:<math>f(x)=\frac{1}{z^2}(\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2\cdot 3}z^3+...)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}z+...</math>
+azaz ''f'' a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:
+:<math>f(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+2)!}z^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k+1)(k+1)}z^{k}</math>
+azaz
+:<math>f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}</math>
 <math> \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}</math>

Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A lap 2008. december 1., 17:26-kori változata

Tartalomjegyzék

Taylor-sor

Laurent-sor

A körgyűrű sugarai

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor együtthatói

Főrész nélküli Laurent-sor

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök