Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Főrész nélküli Laurent-sor)
115. sor: 115. sor:
 
azaz  
 
azaz  
 
:<math>f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}</math>
 
:<math>f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}</math>
 
<math> \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}</math>
 
  
 
===A végtelen pont körüli Laurent-sor===
 
===A végtelen pont körüli Laurent-sor===
Értelmezzük a &infty; körüli Laurent-sort is.  
+
Értelmezhetjük a &infin; körüli Laurent-sort is. Ugyanis ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az &infin; egy környezetében mindenhol reguláris, akkor a g: ''z'' <math>\mapsto</math> f(1/z) függvény a 0 egy kipontozott környezetében szintén reguláris, így az g függvényhez található olyan r sugár, hogy a |z| > r  pontokban előállítsa 
 +
 
 +
'''Definíció.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\to</math> '''C''' esetén a g: ''z'' <math>\mapsto</math> f(1/z) függvény a 0 egy környezetén reguláris és
 +
:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n\,</math>
 +
Laurent-sora valamely r-re a |z| > r pontokban előállítja g-t, akkor az ''f'' végtelen körüli Leurent-során a 
 +
:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_{-n}z^{-n}\,</math>
 +
sort értjük, mely az |z| > 1/r tartományban konvergens.
  
'''Definíció.''' Ha az  
+
   
 
   
 
   
  
 
   
 
   
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. december 1., 18:17-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Taylor-sor

A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:

Tétel. Ha az f: C \supset\!\to C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:

f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

(azaz f analitikus z0-ban).

A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".


Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely

R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,

ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.

2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:

|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,
|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,

természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.

3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

Laurent-sor

A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.


Tétel. Ha az f: C \supset\!\to C függvény olyan, hogy a z0 pont egy  \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)} kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli

R_-<|z-z_0|<R_+\,

körgyűrű hogy ezen belül egy

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,

sor előállítja f-et.

A körgyűrű sugarai

R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,
R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,

Példa. Mely pontok körül fejthető sorba az

f(z)=\frac{1}{z} \,

függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás. z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:

\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=
 =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n

A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.

z = 0-ban Laurent-sora is van éspedig önmaga:

f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,

Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,

részét a sor főrészének, a

\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,

részét a sor reguláris részének nevezzük.

A Laurent-sor együtthatói

c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z

amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.


Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:

f(z)=\frac{\sin(z+i)}{(z+i)^3}\,

1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:

f(w)=\frac{1}{w^3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}w^{2n+1}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}w^{2n+1-3}=

"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1


=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+3)!}w^{2k}

2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.


c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\frac{\sin(w)}{w^3}}{w^{n+1}}\mathrm{d}w=
\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n+4}}\mathrm{d}w=

n +4 < 0-ra, azaz n < -4 -re az integrandus reguláris, így az integrál 0, sőt n=-4-re és n=-3-re is ez a helyzet. n > -3 -re a deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n+4 = (n+3)+1 miatt az n+3-edik deriváltat adja. Mivel

\sin^{(n+3)}(0)=\frac{(n+3)!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n+4}}\mathrm{d}w

ezért


n\geq -3\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\frac{2\pi i }{(n+3)!}\sin^{(n+3)}(0)=\frac{\sin^{(n+3)}(0) }{(n+3)!}

2l=n-nel

c_{2l}=\frac{\sin^{(2l+3)}(0) }{(2l+3)!}=\frac{(-1)^{l+1}}{(2l+3)!},\quad\mathrm{ha} \quad l\geq-1 és
c_{2l}=0,\quad\mathrm{ha} \quad l<-1

Főrész nélküli Laurent-sor

Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:

\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n0^n=c_0

hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.

f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke

\overline{f}(z_0)=c_0

Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének Taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z
\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.

Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!

f(x)=\frac{e^z-z-1}{z^2}\,

Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:

f(x)=\frac{1}{z^2}(\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2\cdot 3}z^3+...)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}z+...

azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:

f(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+2)!}z^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k+1)(k+1)}z^{k}

azaz

f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}

A végtelen pont körüli Laurent-sor

Értelmezhetjük a ∞ körüli Laurent-sort is. Ugyanis ha az f: C \supset\!\to C függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris, akkor a g: z \mapsto f(1/z) függvény a 0 egy kipontozott környezetében szintén reguláris, így az g függvényhez található olyan r sugár, hogy a |z| > r pontokban előállítsa

Definíció. Ha az f: C \to C esetén a g: z \mapsto f(1/z) függvény a 0 egy környezetén reguláris és

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n\,

Laurent-sora valamely r-re a |z| > r pontokban előállítja g-t, akkor az f végtelen körüli Leurent-során a

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_{-n}z^{-n}\,

sort értjük, mely az |z| > 1/r tartományban konvergens.

Személyes eszközök