Matematika A3a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Pólusszingularitás)
(Főrész nélküli Laurent-sor)
102. sor: 102. sor:
 
:<math>\overline{f}(z_0)=c_0</math>
 
:<math>\overline{f}(z_0)=c_0</math>
 
   
 
   
Világos, hogy ezesetben a <math>c_n</math> együtthatók pontosan az ''f'' kiterjesztésének '''Taylor-sori együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
+
Világos, hogy ezesetben a <math>c_n</math> együtthatók pontosan az ''f'' kiterjesztésének '''taylor-sori együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
 
::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
 
::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math>
 
::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
 
::<math>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>

A lap 2008. december 2., 11:49-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Taylor-sor

A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:

Tétel. Ha az f: C \supset\!\to C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:

f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

(azaz f analitikus z0-ban).

A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".


Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely

R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,

ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.

2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:

|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,
|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,
|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,

természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.

3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

Laurent-sor

A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.


Tétel. Ha az f: C \supset\!\to C függvény olyan, hogy a z0 pont egy  \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)} kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli

R_-<|z-z_0|<R_+\,

körgyűrű hogy ezen belül egy

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,

sor előállítja f-et.

A körgyűrű sugarai

R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,
R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,

Példa. Mely pontok körül fejthető sorba az

f(z)=\frac{1}{z} \,

függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás. z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:

\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=
 =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n

A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.

z = 0-ban Laurent-sora is van éspedig önmaga:

f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,

Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,

részét a sor főrészének, a

\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,

részét a sor reguláris részének nevezzük.

A Laurent-sor együtthatói

c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z

amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.


Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:

f(z)=\frac{\sin(z+i)}{(z+i)^3}\,

1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:

f(w)=\frac{1}{w^3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}w^{2n+1}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}w^{2n+1-3}=

"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1


=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+3)!}w^{2k}

2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.


c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\frac{\sin(w)}{w^3}}{w^{n+1}}\mathrm{d}w=
\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n+4}}\mathrm{d}w=

n +4 < 0-ra, azaz n < -4 -re az integrandus reguláris, így az integrál 0, sőt n=-4-re és n=-3-re is ez a helyzet. n > -3 -re a deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n+4 = (n+3)+1 miatt az n+3-edik deriváltat adja. Mivel

\sin^{(n+3)}(0)=\frac{(n+3)!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n+4}}\mathrm{d}w

ezért


n\geq -3\quad\quad c_n=\frac{1}{2\pi i}\frac{2\pi i }{(n+3)!}\sin^{(n+3)}(0)=\frac{\sin^{(n+3)}(0) }{(n+3)!}

2l=n-nel

c_{2l}=\frac{\sin^{(2l+3)}(0) }{(2l+3)!}=\frac{(-1)^{l+1}}{(2l+3)!},\quad\mathrm{ha} \quad l\geq-1 és
c_{2l}=0,\quad\mathrm{ha} \quad l<-1

Főrész nélküli Laurent-sor

Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:

\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n0^n=c_0

hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.

f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke

\overline{f}(z_0)=c_0

Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z
\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.

Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!

f(x)=\frac{e^z-z-1}{z^2}\,

Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:

f(x)=\frac{1}{z^2}(\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2\cdot 3}z^3+...)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}z+...

azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:

f(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+2)!}z^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k+1)(k+1)}z^{k}

azaz

f^{(k)}(0)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}

A végtelen pont körüli Laurent-sor

Legyen az f: C \supset\!\to C függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris.

  • Regulárisnak nevezzük f-et ∞-ben, ha az f\circ(1/id) függvény reguláris 0-ban, azaz ott megszüntethető szakadása van.
  • Az f ∞-beli Laurent-során a ∑\circ(1/id) sort értjük, ahol ∑ az f\circ(1/id) függvény 0-beli Laurent-sora.
  • ∑ főrésze a ∑\circ(1/id)-ban a reguláris lesz és fordítva, azaz
  • \circ(1/id) konvergenciatartománya |z| > 1/r számok, ahol 0<|z|<r-ra konvergens ∑.

Példa. Írjuk fel az

f(z)=z^2 \,
f(z)=e^{\frac{1}{z}}

és az

f(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}

függvények ∞ körüli Laurent-sorát!

Megoldás. 1.

f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{z^2}\,

Ez csak főrészt tartalmazó 0 < |z| < +∞ tartományon konvergens sor, azaz előállítja f\circ(1/id)-t. f ugyanúgy viselkedik ∞-ben, mint f\circ(1/id) a nullában, így f'-nek a ∞-ben csak főrészt tartalmaz és a sora maga az f.

2.

f\left(\frac{1}{z}\right)=e^{z}

Ennek sora:

ez = 1 + z + ...

és a |z| < +∞ tartományon konvergens és csak reguláris része van. Tehát

f(z)=1+\frac{1}{z}+...

mindenhol konvergens és szintén csak reguláris része van. Sőt, ekkor azt mondjuk, hogy f az ∞-ben reguláris.

3.

f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{1-z}

Ez a B(0,1)-en konvergens és csak reguláris tagokat tartalmaz. Így a ∞ körüii sor is csak azt fog tartalmazni és

f(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+...

konvergens lesz a |z| > 1-en.

Sziguláris helyek és osztályozásuk

Az f: D \to C nyílt halmazon értelmezett függvény izolált szinguláris helyének nevezzük a \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}} pontot, ha f értelmezve van a z0 egy kipontozott környzetében, de ott a függvény nem reguláris.

Itt a nem regulárist úgy értjük, hogy vagy értelmezve van, de ott nem komplex deriválható, vagy nincs értelmezve.

A definícióval másképp is fogalmazható. Ha az f: D \to C nyílt halmazon értelmezett függvény esetén a \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}} pont olyan, hogy létezik δ > 0, hogy

\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)\subseteq D\,

akkor a következők ekvivalensek:

  1. z0 f-nek izolált szinguláris pontja
  2. z0-ban f nincs értelmezve, vagy nem folytonos

ugyanis, ha folytonos az adott pontban, körülötte pedig reguláris, akkor az adott pontban is reguláris (v.ö. Riemann-tétel).

A \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}-n reguláris függvény sorbafejthető z0 körül. Éppen ezért a szingularitásait könnyen osztályozhtajuk a Laurent-sora szerint. Mintpedig hogy a Laurent-sor c-1 együtthatója maga a reziduum, ezért a szinguláris helyek körüli sorfejtésből mindig adódik a reziduum is. Értelmezzük a &infty; kötrüli reziduumot is, az a -c-1 együttható.

Megszüntethető szingularitás

f-nek pontosan akkor van a z0-ban megszüntethető szakadása, ha a Laurent-sora csak reguláris részből áll. Ebben az esetben f regulárissá tehető. Sőt, ílymódon definiálhatjuk az ∞ pont regularitását is.

Másként f-nek pontosan akkor van a z0-ban megszüntethető szakadása, ha \lim\limits_{z\to z_0}f(z) létezik és véges.

Példa. z0 = ∞

f(z)=\sin\left(\frac{1}{z}\right)

Ez a függvény a végtelenben reguláris, vagy másként megszünetethető szingularitása van. Ugyanis a

f\left(\frac{1}{z}\right)=\sin(z)

függvény a 0-ban folytonos módon eltűnik. Az ∞ környzetében a függvényt az

f(z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{z^3}+...\,

amely csak reguláris tagokat tartalmaz és

\lim\limits_{z\to \infty}f(z)=\lim\limits\frac{1}{z}\cdot\frac{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}{\frac{1}{z}}=0

ahogy a tagonként határétékképzésből is ez jön ki.

Pólusszingularitás

Az f nek pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen, ha a Laurent-sora főrészében legalább egy, de legfeljebb véges sok tag van.

Részletesebben. Az f nek k-ad rendű pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen, ha a Laurent-sora főrészében a c-k együttható nem nulla, de az 1/z k-nál magasabb hatványai már nem szerepelnek a főrészben.

Másként.

  • z0 pontosan akkor pólusszingularitás, ha  \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty
  • z0 pontosan akkor k-ad rendű pólusszingularitás, ha  \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)^k f(z) véges, nemnulla, de  \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)^{k+1} f(z) már nulla.

Plusszingularitások rendjének kiszámítására két fontos lemmát használhatunk.

Állítás. Az f nek pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen,

Személyes eszközök