Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
− | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény olyan, hogy a <math> | + | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény olyan, hogy a <math>z_0</math> pont egy <math> \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math> kipontozott környezetében az ''f'' függvény reguláris, akkor a <math>z_0</math> pont körül ''f'' Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli |
:<math>R_-<|z-z_0|<R_+\,</math> | :<math>R_-<|z-z_0|<R_+\,</math> | ||
körgyűrű hogy ezen belül egy | körgyűrű hogy ezen belül egy | ||
46. sor: | 46. sor: | ||
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | ||
− | '''2.''' | + | '''2.''' A Laurent-sor |
− | :<math> | + | :<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{z-z_0}^n\,</math> |
+ | részét a sor '''főrészének,''' a | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,</math> | ||
+ | részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' A Laurent-sor együtthatói: | ||
+ | :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R<sub>-</sub>=0 és az ''f'' függvény a <math>z_0</math> pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | és ezesetben regulárissá tehető és ekkor | ||
+ | |||
azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve: | azaz pontosan a '''Taylor-sor együtthatói,''' hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve: | ||
::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ::<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
54. sor: | 67. sor: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math> \scriptstyle{z_0\in\overline{\mathbf{C}}}</math> | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. december 1., 16:27-kori változata
Laurent-sor
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a z0 pont egy kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
Megjegyzések. 1. A körgyűrű sugarai:
2. A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
3. A Laurent-sor együtthatói:
4. Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy
és ezesetben regulárissá tehető és ekkor
azaz pontosan a Taylor-sor együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.