Matematika A3a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum-számítás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsorba fejtés) |
||
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)</math> | :<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)</math> | ||
− | '''Példa.''' Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely | + | '''Példa.''' Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely a függvényt a 0-ban állítja elő! |
:<math>f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,</math> | :<math>f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,</math> | ||
20. sor: | 20. sor: | ||
A másik esetben a (-1)/(''z'' - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén). | A másik esetben a (-1)/(''z'' - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén). | ||
+ | |||
===Reziduum-számítás=== | ===Reziduum-számítás=== | ||
Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen? | Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen? | ||
89. sor: | 90. sor: | ||
Res = 1/(5!) | Res = 1/(5!) | ||
− | ===Cauchy- | + | ===Cauchy-típusú integrálok=== |
Eszköz: | Eszköz: | ||
Ha ''f'' reguláris, akkor minden az ''a''-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére: | Ha ''f'' reguláris, akkor minden az ''a''-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére: | ||
− | :<math>f^{(n)}(a)= \oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-a)^{(n+1)}}\,\mathrm{d}z\,</math> | + | :<math>f^{(n)}(a)= \frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-a)^{(n+1)}}\,\mathrm{d}z\,</math> |
+ | |||
+ | '''1.''' Számoljuk ki minden c ∈ '''Z'''-re az | ||
+ | :<math>I_c=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\mathrm{sh}(2x)}{z^c}\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | integrált! | ||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | :<math>I_c=0,\quad\quad\mathrm{ha}\quad\quad c\leq 0\,</math> | ||
+ | mert ekkor az integrandus reguláris függvény, így a Cauchy-féle integráltétel miatt integrálja 0: | ||
+ | :<math>I_c=\frac{2\pi if^{(c-1)}(0)}{(c-1)!},\quad\quad\mathrm{ha}\quad\quad c> 0\,</math> | ||
+ | ahol f(x) = sh(2x), a C-formulák miatt. | ||
+ | :<math>\left.\mathrm{sh}(2x)^{(c-1)}\right|_{z=0}=\left\{\begin{matrix}0, & \mathrm{ha} & c-1\;\;\mathrm{ps}\\\\2^{c-1}, & \mathrm{ha} & c-1\;\;\mathrm{pn}\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | ===Integrálás véges sok szinguláris pontot körülhurkoló görbén=== | ||
+ | |||
+ | Eszköz: A szinguláris helyek körül külön-külön kis körökön integrálunk, melyekre az integrált a reziduumtétellel, vagy Cauchy-formulákkal számoljuk. | ||
+ | |||
+ | '''1.''' | ||
+ | |||
+ | Legyen | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z^3}{(z^2+1)(z-1)}\,</math> | ||
+ | Mennyi a | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z|=2}f(z)\mathrm{d}z</math> | ||
+ | integrál? | ||
+ | |||
+ | ''1. Megoldás.'' Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/''z'' helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül: | ||
+ | :<math>F(\zeta)=f(\frac{1}{\zeta})=\frac{\frac{1}{\zeta^3}}{(\frac{1}{\zeta^2}+1)(\frac{1}{\zeta}-1)}=\frac{1}{1-\zeta+\zeta^2-\zeta^3}</math> | ||
+ | Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük: | ||
+ | :<math>F(\zeta)=\sum\limits_{n=0}^\infty(\zeta-\zeta^2+\zeta^3)^n=1+\zeta-\zeta^2+\zeta^3+(...)^2+...</math> | ||
+ | Visszatranszformálva: | ||
+ | :<math>f(z)=1+\frac{1}{z}+...\,</math> | ||
+ | azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f+ \mathrm{Res}_\infty f=0\,</math> | ||
+ | így | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f=- \mathrm{Res}_\infty f=-(-1)\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''2. Megoldás.'' Egyenkint, Cauchy-formulával. | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z-1|=1}\frac{\frac{z^3}{z^2+1}}{z-1}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z-i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}}{z-i}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z+i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}}{z+i}\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | :<math>=2\pi i\left.\frac{z^3}{z^2+1}\right|_{1}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}\right|_{i}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}\right|_{-i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(i+1)+\frac{1}{4}(1-i)=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Keressünk potenciált a | ||
+ | :<math> | ||
+ | v=(2xy^3,3x^2y^2,z^2)\,</math> | ||
+ | térbeli vektormezőhöz! | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Keressünk potenciált a | ||
+ | :<math> | ||
+ | v=(x^3+y^3,3xy^2)\,</math> | ||
+ | síkbeli vektormezőhöz! | ||
+ | |||
+ | ===Vektor és skalármezők deriválása=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,(r\cdot|r|^4)=?\,</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\,(\mathrm{div}\,(r|r|)r)=?\,\quad\quad r\in\mathbf{R}^2</math> | ||
+ | :<math>u=?\quad\quad\mathrm{ha}\quad\quad\mathrm{grad}\,u=r|r|^2\,\quad\quad r\in\mathbf{R}^4\setminus \{0\}</math> | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap jelenlegi, 2015. november 11., 15:48-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típuspéldák
Egész kitevőjű hatványsorba fejtés
Fő eszköz: mértani sor:
Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely a függvényt a 0-ban állítja elő!
Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.
Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.
ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= tartománynak felel meg.
A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).
Reziduum-számítás
Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen?
1.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A sorfejtése:
A Laurent-sor főrészében ∞ sok tag van, így a 0 lényeges izolált szingularitás és leolvasva: Res0 f = 9/2.
2.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A cos sorfejtése:
A számláló sorfejtése:
A tört sorfejtése:
Tehát a 0-ban pólusszingularitás van, éspedig 1 elemű a főrész, ezért elsőfokú a reziduum: -2/3
Megjegyezzük, hogy f előáll g(z) / z alakban, ahol g(z) reguláris és g(0) nem nulla, mert:
számlálója regulárissá tehető a g(0)=-2/3 definícióval.
3. Csak a 0-ban!
Megoldás. Írjuk fel nemnulla reg / ? alakban:
Azt kell megvizsgálni, hogy a nevezőnek a 0 hanyszoros multiplicitású gyöke:
Tehát egyszeres, azaz f a következő alakú:
Vagyis f-nek a 0-ban elsőfokú pólusszingularitása van. A residuumot számolhatjuk a képlettel (elsőfokú pólus reziduuma):
mivel
Vagy számolhatjuk "ügyeskedéssel", ami furcsamód mindig célravezet, ha a nevező elemi függvény:
azaz Res = 1.
4.
Megoldás. 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res:
Hiszen a deriválás alatti függvény egy a 0-ban regulárissa átehető függvény, melynek ílymódon a 4. deriváltja tekinthető a derivált határértékének.
Ügyeskedéssel:
Res = 1/(5!)
Cauchy-típusú integrálok
Eszköz:
Ha f reguláris, akkor minden az a-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére:
1. Számoljuk ki minden c ∈ Z-re az
integrált! Megoldás.
mert ekkor az integrandus reguláris függvény, így a Cauchy-féle integráltétel miatt integrálja 0:
ahol f(x) = sh(2x), a C-formulák miatt.
Integrálás véges sok szinguláris pontot körülhurkoló görbén
Eszköz: A szinguláris helyek körül külön-külön kis körökön integrálunk, melyekre az integrált a reziduumtétellel, vagy Cauchy-formulákkal számoljuk.
1.
Legyen
Mennyi a
integrál?
1. Megoldás. Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/z helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül:
Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük:
Visszatranszformálva:
azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis
így
2. Megoldás. Egyenkint, Cauchy-formulával.
2. Keressünk potenciált a
térbeli vektormezőhöz!
3. Keressünk potenciált a
síkbeli vektormezőhöz!