Matematika A3a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum-számítás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum-számítás) |
||
72. sor: | 72. sor: | ||
:<math>c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...=f(z)=\frac{1}{z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...}</math> | :<math>c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...=f(z)=\frac{1}{z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...}</math> | ||
− | 1=(c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...)\times(z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...)=</math> | + | :<math>1=(c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...)\times(z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...)=</math> |
:<math>=c_{-1}+c_0z+c_1z^2+c_2z^3+(c_3+c_{-1}\frac{1}{3!})z^4+...</math> | :<math>=c_{-1}+c_0z+c_1z^2+c_2z^3+(c_3+c_{-1}\frac{1}{3!})z^4+...</math> | ||
azaz Res = 1. | azaz Res = 1. | ||
81. sor: | 81. sor: | ||
''Megoldás.'' 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res: | ''Megoldás.'' 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res: | ||
− | :<math>\lim\limits_{z\to 0}4!(z^5\frac{\sin z}{z^6})^{(4)}=?</math> | + | :<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{4!}(z^5\frac{\sin z}{z^6})^{(4)}=?</math> |
Ügyeskedéssel: | Ügyeskedéssel: | ||
A lap 2008. december 11., 13:26-kori változata
Típuspéldák
Egész kitevőjű hatványsorba fejtés
Fő eszköz: mértani sor:
Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!
Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.
Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.
ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= tartománynak felel meg.
A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).
Reziduum-számítás
Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen?
1.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A sorfejtése:
A Laurent-sor főrészében ∞ sok tag van, így a 0 lényeges izolált szingularitás és leolvasva: Res0 f = 9/2.
2.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A cos sorfejtése:
A számláló sorfejtése:
A tört sorfejtése:
Tehát a 0-ban pólusszingularitás van, éspedig 1 elemű a főrész, ezért elsőfokú a reziduum: -2/3
Megjegyezzük, hogy f előáll g(z) / z alakban, ahol g(z) reguláris és g(0) nem nulla, mert:
számlálója regulárissá tehető a g(0)=-2/3 definícióval.
3. Csak a 0-ban!
Megoldás. Írjuk fel nemnulla reg / ? alakban:
Azt kell megvizsgálni, hogy a nevezőnek a 0 hanyszoros multiplicitású gyöke:
Tehát egyszeres, azaz f a következő alakú:
Vagyis f-nek a 0-ban elsőfokú pólusszingularitása van. A residuumot számolhatjuk a képlettel (elsőfokú pólus reziduuma):
mivel
Vagy számolhatjuk "ügyeskedéssel", ami furcsamód mindig célravezet, ha a nevező elemi függvény:
azaz Res = 1.
4.
Megoldás. 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res:
Ügyeskedéssel: