Matematika A3a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum-számítás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum-számítás) |
||
88. sor: | 88. sor: | ||
:<math>f(z)=\frac{\sin z}{z^6}=\frac{1}{z^5}-\frac{1}{3!}\frac{1}{z^3}+\frac{1}{5!}\frac{1}{z}-...\,</math> | :<math>f(z)=\frac{\sin z}{z^6}=\frac{1}{z^5}-\frac{1}{3!}\frac{1}{z^3}+\frac{1}{5!}\frac{1}{z}-...\,</math> | ||
Res = 1/(5!) | Res = 1/(5!) | ||
+ | |||
+ | ===Cauchy-integrálformulák=== | ||
+ | Eszköz: | ||
+ | |||
+ | Ha ''f'' reguláris, akkor minden az ''a''-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére: | ||
+ | |||
+ | :<math>f^{(n)}(a)= \oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-a)^{(n+1)}}\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
A lap 2008. december 11., 13:33-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típuspéldák
Egész kitevőjű hatványsorba fejtés
Fő eszköz: mértani sor:
Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!
Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.
Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.
ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= tartománynak felel meg.
A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).
Reziduum-számítás
Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen?
1.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A sorfejtése:
A Laurent-sor főrészében ∞ sok tag van, így a 0 lényeges izolált szingularitás és leolvasva: Res0 f = 9/2.
2.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A cos sorfejtése:
A számláló sorfejtése:
A tört sorfejtése:
Tehát a 0-ban pólusszingularitás van, éspedig 1 elemű a főrész, ezért elsőfokú a reziduum: -2/3
Megjegyezzük, hogy f előáll g(z) / z alakban, ahol g(z) reguláris és g(0) nem nulla, mert:
számlálója regulárissá tehető a g(0)=-2/3 definícióval.
3. Csak a 0-ban!
Megoldás. Írjuk fel nemnulla reg / ? alakban:
Azt kell megvizsgálni, hogy a nevezőnek a 0 hanyszoros multiplicitású gyöke:
Tehát egyszeres, azaz f a következő alakú:
Vagyis f-nek a 0-ban elsőfokú pólusszingularitása van. A residuumot számolhatjuk a képlettel (elsőfokú pólus reziduuma):
mivel
Vagy számolhatjuk "ügyeskedéssel", ami furcsamód mindig célravezet, ha a nevező elemi függvény:
azaz Res = 1.
4.
Megoldás. 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res:
Hiszen a deriválás alatti függvény egy a 0-ban regulárissa átehető függvény, melynek ílymódon a 4. deriváltja tekinthető a derivált határértékének.
Ügyeskedéssel:
Res = 1/(5!)
Cauchy-integrálformulák
Eszköz:
Ha f reguláris, akkor minden az a-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére: