Matematika A3a 2008/12. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 11., 16:14-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Típuspéldák

Típuspéldák

Egész kitevőjű hatványsorba fejtés

(v.ö.: Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor )

Fő eszköz: mértani sor:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)$

Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!

$f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,$

Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.

Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.

$f(z)=\frac{(z-1)^2}{z-1+1+i}=\frac{(z-1)^2}{1+i}\cdot\frac{1}{-\frac{z-1}{-1-i}+1}=\frac{(z-1)^2}{1+i}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{(-1-i)^n}\,=$

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(-1)^n(1+i)^{n+1}}(z-1)^{n+2}=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(1+i)^{k-1}}(z-1)^{k}$

ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= $\scriptstyle{\sqrt{2}}$ tartománynak felel meg.

A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).

Reziduum-számítás

Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen?

1.

$f(z)=z\,\mathrm{ch}\left(\frac{3}{z}\right)$

Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A sorfejtése:

$f(z)=z\,\mathrm{ch}\left(\frac{3}{z}\right)=z(1+\frac{1}{2!}\frac{3^2}{z^2}+\frac{1}{4!}\frac{3^4}{z^4}+...)=z+\frac{1}{2!}\frac{3^2}{z}+\frac{1}{4!}\frac{3^4}{z^3}+...$

A Laurent-sor főrészében ∞ sok tag van, így a 0 lényeges izolált szingularitás és leolvasva: Res₀ f = 9/2.

2.

$f(z)=\frac{\frac{1-\cos(2z)}{z^2}-2}{z^3}\,$

Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A cos sorfejtése:

$\cos(2z)=1-\frac{(2z)^2}{2}+\frac{(2z)^4}{4!}-\frac{(2z)^6}{6!}+...$

A számláló sorfejtése:

$\frac{1-\cos(2z)}{z^2}-2=(\frac{2^2}{2}-\frac{2^4z^2}{4!}+\frac{2^6z^4}{6!}...)-2=-\frac{2^4z^2}{4!}+\frac{2^6z^4}{6!}...$

A tört sorfejtése:

$f(z)=-\frac{2^4}{4!z}+\frac{2^6z}{6!}...$

Tehát a 0-ban pólusszingularitás van, éspedig 1 elemű a főrész, ezért elsőfokú a reziduum: -2/3

Megjegyezzük, hogy f előáll g(z) / z alakban, ahol g(z) reguláris és g(0) nem nulla, mert:

$f(z)=\frac{\,\frac{\frac{1-\cos(2z)}{z^2}-2}{z^2}\,}{z}\,$

számlálója regulárissá tehető a g(0)=-2/3 definícióval.

3. Csak a 0-ban!

$f(z)=\frac{z}{\mathrm{sh}\,(z^2)}\,$

Megoldás. Írjuk fel nemnulla reg / ? alakban:

$f(z)=\frac{1}{\frac{\mathrm{sh}\,(z^2)}{z}}\,$

Azt kell megvizsgálni, hogy a nevezőnek a 0 hanyszoros multiplicitású gyöke:

$\frac{\mathrm{sh}\,(z^2)}{z}=z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...$

Tehát egyszeres, azaz f a következő alakú:

$f(z)=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{3!}z^4+\frac{z^{8}}{5!}-...}$

Vagyis f-nek a 0-ban elsőfokú pólusszingularitása van. A residuumot számolhatjuk a képlettel (elsőfokú pólus reziduuma):

$\mathrm{Res}_{z=0}f(z)=\frac{g(0)}{h'(0)}=1\,$

mivel

$h(x)=z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...\,$

Vagy számolhatjuk "ügyeskedéssel", ami furcsamód mindig célravezet, ha a nevező elemi függvény:

$c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...=f(z)=\frac{1}{z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...}$

$1=(c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...)\times(z+\frac{1}{3!}z^5+\frac{z^{9}}{5!}-...)=$

$=c_{-1}+c_0z+c_1z^2+c_2z^3+(c_3+c_{-1}\frac{1}{3!})z^4+...$

azaz Res = 1.

4.

$f(z)=\frac{\sin z}{z^6}\,$

Megoldás. 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res:

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{4!}(z^5\frac{\sin z}{z^6})^{(4)}=?$

Hiszen a deriválás alatti függvény egy a 0-ban regulárissa átehető függvény, melynek ílymódon a 4. deriváltja tekinthető a derivált határértékének.

Ügyeskedéssel:

$f(z)=\frac{\sin z}{z^6}=\frac{1}{z^5}-\frac{1}{3!}\frac{1}{z^3}+\frac{1}{5!}\frac{1}{z}-...\,$

Res = 1/(5!)

Cauchy-típusú integrálok

Eszköz:

Ha f reguláris, akkor minden az a-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére:

$f^{(n)}(a)= \frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-a)^{(n+1)}}\,\mathrm{d}z\,$

1. Számoljuk ki minden c ∈ Z-re az

$I_c=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\mathrm{sh}(2x)}{z^c}\,\mathrm{d}z\,$

integrált! Megoldás.

$I_c=0,\quad\quad\mathrm{ha}\quad\quad c\leq 0\,$

mert ekkor az integrandus reguláris függvény, így a Cauchy-féle integráltétel miatt integrálja 0:

$I_c=\frac{2\pi if^{(c-1)}(0)}{(c-1)!},\quad\quad\mathrm{ha}\quad\quad c> 0\,$

ahol f(x) = sh(2x), a C-formulák miatt.

$\left.\mathrm{sh}(2x)^{(c-1)}\right|_{z=0}=\left\{\begin{matrix}0, & \mathrm{ha} & c-1\;\;\mathrm{ps}\\\\2^{c-1}, & \mathrm{ha} & c-1\;\;\mathrm{pn}\end{matrix}\right.$

Integrálás véges sok szinguláris pontot körülhurkoló görbén

Eszköz: A szinguláris helyek körül külön-külön kis körökön integrálunk, melyekre az integrált a reziduumtétellel, vagy Cauchy-formulákkal számoljuk.

1.

Legyen

$f(z)=\frac{z^3}{(z^2+1)(z-1)}\,$

Mennyi a

$\oint\limits_{|z|=2}f(z)\mathrm{d}z$

integrál?

1. Megoldás. Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/z helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül:

$F(\zeta)=f(\frac{1}{\zeta})=\frac{\frac{1}{\zeta^3}}{(\frac{1}{\zeta^2}+1)(\frac{1}{\zeta}-1)}=\frac{1}{1-\zeta+\zeta^2-\zeta^3}$

Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük:

$F(\zeta)=\sum\limits_{n=0}^\infty(\zeta-\zeta^2+\zeta^3)^n=1+\zeta-\zeta^2+\zeta^3+(...)^2+...$

Visszatranszformálva:

$f(z)=1+\frac{1}{z}+...\,$

azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis

$\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f+ \mathrm{Res}_\infty f=0\,$

így

$\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f=- \mathrm{Res}_\infty f=-(-1)\,$

2. Megoldás. Egyenkint, Cauchy-formulával.

$\oint\limits_{|z-1|=1}\frac{\frac{z^3}{z^2+1}}{z-1}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z-i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}}{z-i}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z+i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}}{z+i}\mathrm{d}z=$

$=2\pi i\left.\frac{z^3}{z^2+1}\right|_{1}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}\right|_{i}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}\right|_{-i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(i+1)+\frac{1}{4}(1-i)=1$

Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

$u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,$

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

$u_x'=v_y'\,$ és

$v_x'=-u_y'\,$

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

$v_{yy}''=u_xy''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,$

azaz

$\Delta v\equiv 0\,$ és fordítva.

@@ 133. sor: / 133. sor: @@
 :<math>=2\pi i\left.\frac{z^3}{z^2+1}\right|_{1}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}\right|_{i}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}\right|_{-i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(i+1)+\frac{1}{4}(1-i)=1</math>
+===Harmonikus társ keresése===
+Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény ''harmonikus'', ha
+:<math>u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\, </math>
+itt &Delta; a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).
+A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:
+:<math>u_x'=v_y'\,</math> és
+:<math>v_x'=-u_y'\,</math>
+De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:
+:<math>v_{yy}''=u_xy''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,</math>
+azaz
+:<math>\Delta v\equiv 0\,</math> és fordítva.
 [[Kategória:Matematika A3]]

Matematika A3a 2008/12. gyakorlat

A lap 2008. december 11., 16:14-kori változata

Tartalomjegyzék

Típuspéldák

Egész kitevőjű hatványsorba fejtés

Reziduum-számítás

Cauchy-típusú integrálok

Integrálás véges sok szinguláris pontot körülhurkoló görbén

Harmonikus társ keresése

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök