Matematika A3a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsorba fejtés) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)</math> | :<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)</math> | ||
− | '''Példa.''' Adjuk meg az alábbi függvény 1 | + | '''Példa.''' Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t! |
:<math>f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,</math> | :<math>f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,</math> | ||
A lap 2008. december 11., 12:20-kori változata
Típuspéldák
Egész kitevőjű hatványsorba fejtés
Fő eszköz: mértani sor:
Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!
Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.
Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.
ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= tartománynak felel meg.
A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).