Matematika A3a 2008/12. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. december 5., 18:37-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

<Matematika A3a 2008

Típuspéldák

Egész kitevőjű hatványsorba fejtés

(v.ö.: Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor )

Fő eszköz: mértani sor:

\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad\quad (|z|<1)

Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 és ∞ körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!

f(z)=\frac{(z-1)^2}{z+i}\,

Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.

Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.

f(z)=\frac{(z-1)^2}{z-1+1+i}=\frac{(z-1)^2}{1+i}\cdot\frac{1}{-\frac{z-1}{-1-i}+1}=\frac{(z-1)^2}{1+i}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{(-1-i)^n}\,=
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(-1)^n(1+i)^{n+1}}(z-1)^{n+2}=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(1+i)^{k-1}}(z-1)^{k}

ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|=\scriptstyle{\sqrt{2}} tartománynak felel meg.

A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).

Személyes eszközök