Matematika A3a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
94. sor: | 94. sor: | ||
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs. | az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs. | ||
− | 5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}= | + | 5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>. |
'''5.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét! | '''5.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét! | ||
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>, | # <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>, | ||
− | # <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>, | + | # <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math> |
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | 1.<math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math> | ||
+ | |||
+ | Folytonos az értelmezési tartományában. A határon: | ||
+ | <math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math> | ||
+ | ''z''<sub>0</sub> ≠ 0 esetén | ||
+ | :<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math> | ||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. szeptember 18., 13:07-kori változata
Tartalomjegyzék |
Feladatok folytnosságra
1. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
2. Folytonos-e a z = i-ben az
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok függvényhatárértékre
Végtelen határérték
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladatok
3. Igazoljuk definíció szerint, hogy
Megoldás. |1/z| < ε, ha |z| < δ és fordítva.
4. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Megoldás.
1. nemnulla z-re:
de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
2.
3.
4. csak a valós részt nézve:
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.
5. .
5. Adjuk meg minden z0 ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!
- ,
Megoldás.
1.
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon: z0 ≠ 0 esetén
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): \left|\frac{x+iy}{2iy}\right\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty