Matematika A3a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Feladatok függvényhatárértékre) |
||
48. sor: | 48. sor: | ||
===Végtelen határérték=== | ===Végtelen határérték=== | ||
'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám: | '''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám: | ||
− | # <math> | + | # <math>\infty+z=\infty </math>, |
# <math>\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty</math>, | # <math>\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty</math>, | ||
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>, | # <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>, | ||
57. sor: | 57. sor: | ||
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők: | '''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők: | ||
− | # <math>\infty-\infty</math>, | + | # <math>\infty+\infty=\infty, \quad\quad\infty-\infty</math>, |
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>, | # <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>, | ||
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, | # <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, |
A lap 2008. szeptember 23., 13:59-kori változata
Tartalomjegyzék |
Feladatok folytonosságra
1. Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
2. Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok függvényhatárértékre
Végtelen határérték
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladatok
3. Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
Megoldás. |1/z| < ε, ha |z| < δ és fordítva.
4. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Megoldás.
1. nemnulla z-re:
de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
2.
3.
4. csak a valós részt nézve:
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.
5. .
5. Feladat. Adjuk meg minden z0 ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!
- ,
Megoldás.
1.
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon: z0 ≠ 0 esetén
z0 = 0 esetén:
ismert, hogy nincs határérték.
2.
Az egységkör pontjaitől különbözőkre folytonos, az egységköröna végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték.