Matematika A3a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. szeptember 18., 12:33-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Feladatok folytonosságra

1. Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

f(z)=\left\{
\begin{matrix}
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
\\
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
\end{matrix}
\right.

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix}
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|

és

\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2

így (x,y)\to(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.


2. Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

f(z)=\left\{
\begin{matrix}
\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
\\
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
\end{matrix}
\right.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix}
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
\end{pmatrix}

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Feladatok függvényhatárértékre

Végtelen határérték

DefinícióVégtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

  1. \infty+\infty=\infty, \quad\quad\infty+z=\infty ,
  2. \infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty,
  3. \infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty,
  4. \frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy \overline{\infty}=\infty, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

DefinícióHatározatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. \infty-\infty,
  2. 0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0,
  3. \frac{\infty}{\infty},
  4. \frac{0}{0}

ÁllításVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

Feladatok

3. Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty
\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0

Megoldás. |1/z| < ε, ha |z| < δ és fordítva.

4. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z},
  2. \lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1},
  3. \lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i},
  4. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}},
  5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i},

Megoldás.

1. nemnulla z-re:

\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. \frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to -i}\infty

3. \frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}\to...

4. \frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}} csak a valós részt nézve:

\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.

5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty.

5. Feladat. Adjuk meg minden z0C számra az alábbi függvény határértékét!

  1. f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z},
  2. f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}

Megoldás.

1. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon: \frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\, z0 ≠ 0 esetén

\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty

z0 = 0 esetén:

\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}

ismert, hogy nincs határérték.

2. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}

Az egységkör pontjaitől különbözőkre folytonos, az egységköröna végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték.

Személyes eszközök