Matematika A3a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2010. szeptember 15., 08:16-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A3a 2008

Feladat folytonosságra

Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

f(z)=\left\{
\begin{matrix}
\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
\\
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
\end{matrix}
\right.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix}
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
\end{pmatrix}

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

C kompaktifikálása

Kompakt egy K halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a K-t. Szimbolikusan:

K kompakt, ha minden (Ωi)i∈I halmazrendszerhez, melyre
  1. Ωi nyílt minden i∈I-re és
  2. K ⊆ U(Ωi)i∈I
létezik J ⊆ I véges indexhalmaz, hogy K ⊆ U(Ωi)i∈J

RN-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga C nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont C egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével C kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely R3-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.


A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az R3-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az [xy] síkra, mint a C komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú P pólust és egy a + bi komplex szám esetén az (a,b,0) pontot kössük össze P-vel egy e egyenes által. Ekkor az e egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az a + bi-nek megfelelő pontot. Ha az a + bi-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:

a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,

Megjegyzés. Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis

z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\, és w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,

Ekkor a z konjugáltját a w-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:

w\cdot \overline{z}=1\,

Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy w nem más, mint a z inverziója az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a

w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,

leképezés. Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.


Ha tehát a C-hez hozzáveszünk egy ∞-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a P pólust, akkor a

\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,

halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell ∞ gömbi környezeteit. Ezek a következő alakú halmazok lesznek:

\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,

ahol r > 0.

Feladat. Igazoljuk, hogy CU{∞} kompakt!

(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)

Ha CU{∞}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor ∞-t is lefedi belőlük egy, mondjuk U. U lefedi az ∞ egy gömbi környezetét, mondjuk Br(∞)-t. Elegendő tehát tekintenünk CU{∞} lefedéséhez a halmazrendszerből az U-t és a Br(∞) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert Br(∞) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.

Határérték

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R2 esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az AC halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}} az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan aA, hogy a ∈ Br(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden zA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(z) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty
  2. \lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|<\varepsilon

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|>\frac{1}{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
a * b = c
definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 \cdot ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) \cdot Re(z) \to 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) \cdot 2 Re(z) \to 2 a z=0-ban.

DefinícióVégtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

  1. \infty+z=\infty ,
  2. \infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty,
  3. \infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty,
  4. \frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy \overline{\infty}=\infty, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

DefinícióHatározatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. \infty+\infty=\infty,\quad\quad\infty-\infty,
  2. 0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0,
  3. \frac{\infty}{\infty},
  4. \frac{0}{0}

Ezek a definíciók, a definíció előtt említett elv értelmében jók, azaz

TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R2-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty miközben (\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2

\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1 miközben \frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2

\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1 miközben \frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2

\frac{z}{z}=1\quad\to 1 miközben \frac{2z}{z}=2\quad\to 2

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z},
  2. \lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1},
  3. \lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i},
  4. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}},
  5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i},

Megoldás. 1. nemnulla z-re:

\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. \frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty

3. \frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}

\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1

4. \frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}} csak a valós részt nézve:

\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty.


Feladat. Adjuk meg minden z0C számra az alábbi függvény határértékét!

  1. f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z},
  2. f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1},

1. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,

z0 ≠ 0 esetén

\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty

z0 = 0 esetén:

\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}

ismert, hogy nincs határérték.

2. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|},

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

\lim\limits_{t\to +infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,
\lim\limits_{t\to +infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,
Személyes eszközök