Matematika A3a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elméleti példák) |
||
97. sor: | 97. sor: | ||
<math>C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x</math> | <math>C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x</math> | ||
<center> | <center> | ||
+ | ==Gyakorás== | ||
+ | |||
+ | Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett! | ||
+ | :<math>x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0</math> | ||
+ | '''Mo.''' Legyen <math>u=y/x</math>, innen <math>y'=u'x+u</math> | ||
+ | :<math>\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0</math> | ||
+ | :<math>\,\sin u-u\cos u+(u'x+u)\cos u=0</math> | ||
+ | :<math>\,\sin u+u'x cos u=0</math> | ||
+ | :<math>\,u'x\cos u =-\sin u</math> | ||
+ | (itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai) | ||
+ | :<math>\,\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}</math> | ||
+ | :<math>\,-\ln|\sin u| =\ln|x|+C</math> | ||
+ | :<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> | ||
+ | :<math>\,1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) | ||
+ | |||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
A lap 2015. szeptember 23., 14:51-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integráló tényező
Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,Q)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:
Mivel
és ugyanígy
ezért
Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
Speciális esetek
Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő.
I. Keressük a megoldást a μ=μ(x) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(x) és ∂yln(μ)=0, azaz
és
csak x-től függ és innen az integráló szorzó:
II. Keressük a megoldást a μ=μ(y) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(y) és ∂xln(μ)=0, azaz
és
csak y-től függ és innen az integráló szorzó:
Megj.: A gyakorlatban ilyenkor vesszük az
- ill.
törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk.
III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet
alakú és az integráló szorzó
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Átrendezve:
∂yP=3y2, ∂xQ=-y2, azaz
azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor
Ekkor az egyenlet:
egzakt, mert
Integrálássa:
azaz
Elméleti példák
1. Az y'=-P/Q homogén fokszámú egyenlet, melyben P és Q azonos fokszámú homogén függvények szintén egzakttá tehető az 1/(Px+Qy) szorzóval, ha ez nem az y'=-y/x egyenlet (ennek meg ismerjük a megoldását).
2. Keressünk integráló tényezőt az
közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
Világos, hogy nem egzakt, mert a
alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
egy partikuláris megoldás:
ahol F'=f.
HF: Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!
Mo.
Már egzakt, hiszen
Ekkor
azaz
Gyakorás
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u
(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)
- (K≠0)
2. gyakorlat |
4. gyakorlat |