Matematika A3a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2017. január 16., 19:20-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Integráló tényező
2 Speciális esetek
3 Elméleti példák
4 Gyakorlás
5 Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.

Integráló tényező

Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,Q)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:

$\mu(x,y) P(x,y)+y'\mu(x,y) Q(x,y)=0\,$

már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:

$\frac{\partial\mu P}{\partial y}=\frac{\partial\mu Q}{\partial x}\,$

$\mu\frac{\partial P}{\partial y}+P\frac{\partial\mu }{\partial y}=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}+Q\frac{\partial \mu}{\partial x}\,$

$\mu\cdot\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \mu}{\partial x}-P\frac{\partial\mu }{\partial y}\,$

Mivel

$\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial x}$

és ugyanígy

$\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial y}$

ezért

$\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}-P\frac{\partial\ln\mu}{\partial y}\,$

Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.

Speciális esetek

Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő.

I. Keressük a megoldást a μ=μ(x) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(x) és ∂_yln(μ)=0, azaz

$\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,$

és

$R(x)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,$

csak x-től függ és innen az integráló szorzó:

$\mu(x)=e^{\int R(x)\;dx}$

Példa.

Az x>0, y tetszőleges kezdeti érték tarrtományban oldjuk meg az alábbi egyenletet!

$\,(x^2+y^2+x)dx+xydy=0$ ,

(x y y' = - x 2 - y 2 - x)

Mo. $P = x 2 + y 2 + x$ , $Q = x y$ , $\partial_y P=2y$ , $\partial_yQ=y$ azaz nem egzakt, de

$\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}=\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)$ , $\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x$

II. Keressük a megoldást a μ=μ(y) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(y) és ∂_xln(μ)=0, azaz

$\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=-P\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,$

és

$S(y)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=-\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,$

csak y-től függ és innen az integráló szorzó:

$\mu(y)=e^{-\int S(y)\;dy}$

Megj.: A gyakorlatban ilyenkor vesszük az

$\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}$ ill. $\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}$

törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk.

Példa.

Oldjuk meg az

$-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0$

egyenletet!

1. Mo. Nem egzakt:

$\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=0$

Egzakttá tehető, ugyanis:

$-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}$

$\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}$

Emiatt

$-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0$

Megoldása:

$-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C$

2. Mo. Szeparábilis is.

III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet

$\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Qf(x)-Pg(y)\,$

alakú és az integráló szorzó

$\mu(x,y)=e^{\int f(x)\;dx+\int g(y)\;dy}$

Példa. Oldjuk meg az

$y'=\frac{x^3+y^3}{xy^2}\,$

egyenletet!

Mo. Átrendezve:

$(x^3+y^3)\mathrm{d}x-xy^2\mathrm{d}y=0\,$

∂_yP=3y², ∂_xQ=-y², azaz

$\frac{-\mathrm{rot}\,(P,Q)(x,y)}{Q(x,y)}=\frac{3y^2+y^2}{-xy^2}=\frac{-4}{x}$

azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor

$\mu(x)=\frac{1}{x^4}$

Ekkor az egyenlet:

$\left(\frac{1}{x}+\frac{y^3}{x^4}\right)\mathrm{d}x-\frac{y^2}{x^3}\mathrm{d}y=0\,$

egzakt, mert

$\frac{3y^2}{x^4}-(-1)\frac{-3y^2}{x^4}=0\,$

Integrálássa:

$F(x,y)=\mathrm{ln}|x|+\frac{1}{-3}\frac{y^3}{x^3}+C(y),\quad\quad F(x,y)=-\frac{1}{3}\frac{y^3}{x^3}+C(x)\,$

azaz

$\mathrm{ln}|x|-\frac{1}{3}\frac{y^3}{x^3}=C$

$3x^3\mathrm{ln}\,c|x|=y^3$

$x\sqrt[3]{3\,\mathrm{ln}\,c|x|}=y(x)\,$

Elméleti példák

1. Az y'=-P/Q homogén fokszámú egyenlet, melyben P és Q azonos fokszámú homogén függvények szintén egzakttá tehető az 1/(Px+Qy) szorzóval, ha ez nem az y'=-y/x egyenlet (ennek meg ismerjük a megoldását).

2. Keressünk integráló tényezőt az

$y'+f(x)y=g(x)\,$

közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!

Világos, hogy nem egzakt, mert a

$\mathrm{d}y-(g(x)-f(x)y)\,\mathrm{d}x=0$

alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).

Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:

$\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}-(g(x)-f(x)y)\frac{\partial\mu }{\partial y}\,$

Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:

$\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}\,$

$\mu f(x)=\mu'\,$

Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:

$f(x)=\frac{\mu'}{\mu}\,$

$f(x)=(\mathrm{ln}\,\mu)'\,$

egy partikuláris megoldás:

$\mu(x)=e^{F(x)}\,$

ahol F'=f.

HF: Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!

Mo.

$e^{F(x)}\mathrm{d}y+(-g(x)+f(x)y)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x=0$

Már egzakt, hiszen

$e^{F(x)}f(x)=f(x)e^{F(x)}\,$

Ekkor

$\Phi(x,y)=ye^{F(x)}+C(x),\quad\quad \Phi(x,y)=ye^{F(x)}+\int -g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x+C(y)$

azaz $C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x$

Gyakorlás

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen $u = y / x$ , innen $y' = u' x + u$

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

$\,\sin u-u\cos u+(u'x+u)\cos u=0$

$\,\sin u+u'x cos u=0$

$\,u'x\cos u =-\sin u$

(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)

$\,\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

$\,-\ln|\sin u| =\ln|x|+C$

$\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|$

$\,1=Kx\sin \frac{y}{x}$ (K≠0)

Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.

$y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)$

Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.

$y'=-\frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}$

ln | y | = ln | x | - 2 + C

Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:

$y=K\frac{1}{x^2}$

ami a homogén általános megoldása.

Inhomogén part. keresése

$y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}$

$K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)$

K'(x) = x 2 sin(x 3 + 1)

$K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)$

$K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)$

$y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}$

2. gyakorlat

4. gyakorlat

Matematika A3a 2008/3. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2017. január 16., 19:20-kori változata

Tartalomjegyzék

Integráló tényező

Speciális esetek

Elméleti példák

Gyakorlás

Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
-==Komplex sorozatok==
+==Integráló tényező==
-Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
+Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,Q)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan &mu; kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
-:<math>
+:<math>\mu(x,y) P(x,y)+y'\mu(x,y) Q(x,y)=0\,</math>
-\begin{matrix}
+már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen &mu; un. '''integráló szorzót'''! A rot(&mu;P,&mu;Q)=0 feltétel a következő:
-(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
+:<math>\frac{\partial\mu P}{\partial y}=\frac{\partial\mu Q}{\partial x}\,</math>
-\\
+:<math>\mu\frac{\partial P}{\partial y}+P\frac{\partial\mu }{\partial y}=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}+Q\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math>
-\Updownarrow\mathrm{def}\\
+:<math>\mu\cdot\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \mu}{\partial x}-P\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math>
-\\
+Mivel
-\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
+:<math>\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial x}</math>
-\end{matrix}</math>
+és ugyanígy
-Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
+:<math>\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial y}</math>
+ezért
+:<math>\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}-P\frac{\partial\ln\mu}{\partial y}\,</math>
+Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
-A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
+==Speciális esetek==
+Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a &mu;-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő.
-'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
+I. Keressük a megoldást a &mu;=&mu;(x) feltevéssel! Ekkor ln(&mu;)=ln(&mu;)(x) és &part;<sub>y</sub>ln(&mu;)=0, azaz
-:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
+:<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,</math>
-:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
+és
+:<math>R(x)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,</math>
+csak x-től függ és innen az integráló szorzó:
+:<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\;dx}</math>
-Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
-Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
+'''Példa.'''
-:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
-függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
-:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
-Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
-===Nullsorozatok===
-A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
+Az x>0, y tetszőleges kezdeti érték tarrtományban oldjuk meg az alábbi egyenletet!
+:<math>\,(x^2+y^2+x)dx+xydy=0</math>, <math>(xyy'=-x^2-y^2-x)</math>
+'''Mo.''' <math>P=x^2+y^2+x</math>, <math>Q=xy</math>, <math>\partial_y P=2y</math>, <math>\partial_yQ=y</math> azaz nem egzakt, de
+:<math>\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}=\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)</math>, <math>\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x</math>
-'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
-# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
-# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
-# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
-# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
-# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
-# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
+II. Keressük a megoldást a &mu;=&mu;(y) feltevéssel! Ekkor ln(&mu;)=ln(&mu;)(y) és &part;<sub>x</sub>ln(&mu;)=0, azaz
+:<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=-P\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math>
+és
+:<math>S(y)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=-\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math>
+csak y-től függ és innen az integráló szorzó:
+:<math>\mu(y)=e^{-\int S(y)\;dy}</math>
-Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
+'''Megj.:''' A gyakorlatban ilyenkor vesszük az
+:<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}</math> ill. <math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}</math>
+törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk.
-==Komplex sorok==
+'''Példa.'''
-Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
+Oldjuk meg az
-: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
+:<math>-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0</math>
-részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a
+egyenletet!
-:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
-szimbólummal jelöljük.
-===Komponensek===
+''1. Mo.''
+Nem egzakt:
+:<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math>
+:<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=0</math>
+Egzakttá tehető, ugyanis:
+:<math>-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}</math>
+:<math>\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}</math>
+Emiatt
+:<math>-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0</math>
+Megoldása:
+:<math>-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C</math>
+''2. Mo.''
+Szeparábilis is.
-Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
+III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz &mu;(x,y)=&phi;(x)&psi;(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet
-:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,  </math>
+:<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Qf(x)-Pg(y)\,</math>
-esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
+alakú és az integráló szorzó
-:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,  </math>
+:<math>\mu(x,y)=e^{\int f(x)\;dx+\int g(y)\;dy}</math>
-ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
-===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
+'''Példa.''' Oldjuk meg az
+:<math>y'=\frac{x^3+y^3}{xy^2}\,</math>
+egyenletet!
-Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
+''Mo.'' Átrendezve:
+:<math>(x^3+y^3)\mathrm{d}x-xy^2\mathrm{d}y=0\,</math>
+&part;<sub>y</sub>P=3y<sup>2</sup>, &part;<sub>x</sub>Q=-y<sup>2</sup>,
+azaz
+:<math>\frac{-\mathrm{rot}\,(P,Q)(x,y)}{Q(x,y)}=\frac{3y^2+y^2}{-xy^2}=\frac{-4}{x}</math>
+azaz célravezet, ha  &mu;-t &mu;(x) alakban keressük. Ekkor
+:<math>\mu(x)=\frac{1}{x^4}</math>
+Ekkor az egyenlet:
+:<math>\left(\frac{1}{x}+\frac{y^3}{x^4}\right)\mathrm{d}x-\frac{y^2}{x^3}\mathrm{d}y=0\,</math>
+egzakt, mert
+:<math>\frac{3y^2}{x^4}-(-1)\frac{-3y^2}{x^4}=0\,</math>
+Integrálássa:
+:<math>F(x,y)=\mathrm{ln}|x|+\frac{1}{-3}\frac{y^3}{x^3}+C(y),\quad\quad F(x,y)=-\frac{1}{3}\frac{y^3}{x^3}+C(x)\,</math>
+azaz
+:<math>\mathrm{ln}|x|-\frac{1}{3}\frac{y^3}{x^3}=C</math>
+:<math>3x^3\mathrm{ln}\,c|x|=y^3</math>
+:<math>x\sqrt[3]{3\,\mathrm{ln}\,c|x|}=y(x)\,</math>
-Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
+==Elméleti példák==
+'''1.''' Az y'=-P/Q homogén fokszámú egyenlet, melyben P és Q azonos fokszámú homogén függvények szintén egzakttá tehető az 1/(Px+Qy) szorzóval, ha ez nem az y'=-y/x egyenlet (ennek meg ismerjük a megoldását).
+'''2.''' Keressünk integráló tényezőt az
+:<math>y'+f(x)y=g(x)\,</math>
+közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
+Világos, hogy nem egzakt, mert a
+:<math>\mathrm{d}y-(g(x)-f(x)y)\,\mathrm{d}x=0</math>
+alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
+Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a &mu;-t adó parc.diff. egyenlet:
+:<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}-(g(x)-f(x)y)\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math>
+Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan &mu;-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
+:<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math>
+:<math>\mu f(x)=\mu'\,</math>
+Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
+:<math>f(x)=\frac{\mu'}{\mu}\,</math>
+:<math>f(x)=(\mathrm{ln}\,\mu)'\,</math>
+egy partikuláris megoldás:
+:<math>\mu(x)=e^{F(x)}\,</math>
+ahol F'=f.
+'''HF''': Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!
+''Mo.''
+:<math>e^{F(x)}\mathrm{d}y+(-g(x)+f(x)y)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x=0</math>
+Már egzakt, hiszen
+:<math>e^{F(x)}f(x)=f(x)e^{F(x)}\,</math>
+Ekkor
+:<math>\Phi(x,y)=ye^{F(x)}+C(x),\quad\quad \Phi(x,y)=ye^{F(x)}+\int -g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x+C(y)</math>
+azaz
+<math>C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x</math>
+<center>
+</center>
+==Gyakorlás==
+Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(&pi;)=0 ill. b) y(2/&pi;)=1 kezdeti feltétel mellett!
+:<math>x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0</math>
+'''Mo.''' Legyen <math>u=y/x</math>, innen <math>y'=u'x+u</math>
+:<math>\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0</math>
+:<math>\,\sin u-u\cos u+(u'x+u)\cos u=0</math>
+:<math>\,\sin u+u'x cos u=0</math>
+:<math>\,u'x\cos u =-\sin u</math>
+(itt megjegyzendő, hogy az u=k&pi; konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=k&pi;x megoldásai)
+:<math>\,\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}</math>
+:<math>\,-\ln|\sin u| =\ln|x|+C</math>
+:<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math>
+:<math>\,1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K&ne;0)
+==Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.==
+:<math>
+y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)</math>
+'''Mo.''' Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.
+:<math>y'=-\frac{2y}{x}</math>
+:<math>\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}</math>
+:<math>\ln|y|=\ln|x|^{-2}+C</math>
+Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:
+:<math>y=K\frac{1}{x^2}</math>
+ami a homogén általános megoldása.
+Inhomogén part. keresése
+:<math>y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}</math>
+:<math>
+K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)</math>
+:<math>
+K'(x)=x^2\sin(x^3+1)</math>
+:<math>
+K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)</math>
+:<math>
+K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)</math>
+:<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math>
-===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
-Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
+<center>
+{| class="wikitable" style="text-align:center"
+|- bgcolor="#efefef"
+|[[Matematika A3a 2008/2. gyakorlat |2. gyakorlat]]
+|}
+{| class="wikitable" style="text-align:center"
+|- bgcolor="#efefef"
+|[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]]
+|}
+</center>
-'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
-# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
-# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
-#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
-# '''Összehasonlító kritérium:'''  ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és  ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
-# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
-#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
-# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
-# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
-'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
 [[Kategória:Matematika A3]]