Matematika A3a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(→Komplex sorozatok)
25. sor: 25. sor:
 
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
 
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
 
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
 
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
 +
===Nullsorozatok===
 +
 +
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
 +
 +
'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
 +
# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
 +
# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
 +
# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
 +
# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
 +
 +
Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
 +
 +
==Komplex sorok==
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. szeptember 25., 12:19-kori változata

<Matematika A3a 2008

Komplex sorozatok

Minthogy C ≡ R2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:

\begin{matrix} (z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\ \\ \Updownarrow\mathrm{def}\\ \\ \exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon) \end{matrix}

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(an) konvergens és
(bn) konvergens.

Ekkor lim(zn) = lim(an) + i\cdotlim(bn)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy

\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. abszolútérték: zn \to 0 akkor és csak akkor, ha |zn| \to 0
  2. eltolás: zn \to z akkor és csak akkor, ha (zn – z) \to 0
  3. "K \cdot 0": ha (wn) korlátos és zn \to 0, akkor (wn \cdot zn) \to 0
  4. majoráns: ha (δn) \to 0 valós és |zn| < δn, akkor zn \to 0
  5. hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor zn \to 0
  6. gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor zn \to 0


Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K \cdot 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.

Komplex sorok

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/3._gyakorlat&oldid=4148”
Személyes eszközök