Matematika A3a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex sorozatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex sorok) |
||
41. sor: | 41. sor: | ||
==Komplex sorok== | ==Komplex sorok== | ||
+ | |||
+ | Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat | ||
+ | : <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math> | ||
+ | részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és ∑(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math> | ||
+ | szimbólummal jelöljük. | ||
+ | |||
+ | ===Komponensek=== | ||
+ | |||
+ | Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük: | ||
+ | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\, </math> | ||
+ | esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így | ||
+ | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\, </math> | ||
+ | ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens. | ||
+ | |||
+ | ===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia=== | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra. | ||
+ | |||
+ | Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek. | ||
+ | |||
+ | ===Kritériumok az abszolút konvergenciára=== | ||
+ | |||
+ | Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat. | ||
+ | # '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege: | ||
+ | #:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math> | ||
+ | # '''Összehasonlító kritérium:''' ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium''). | ||
+ | # '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1 valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens. | ||
+ | #: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens. | ||
+ | # '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens | ||
+ | # '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak. | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. szeptember 25., 12:20-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex sorozatok
Minthogy C ≡ R2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:
Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
- (an) konvergens és
- (bn) konvergens.
Ekkor lim(zn) = lim(an) + ilim(bn)
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy
függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
Nullsorozatok
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- abszolútérték: zn 0 akkor és csak akkor, ha |zn| 0
- eltolás: zn z akkor és csak akkor, ha (zn – z) 0
- "K 0": ha (wn) korlátos és zn 0, akkor (wn zn) 0
- majoráns: ha (δn) 0 valós és |zn| < δn, akkor zn 0
- hányadoskritérium: ha , akkor zn 0
- gyökkritérium: ha , akkor zn 0
Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
Komplex sorok
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat
részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a
szimbólummal jelöljük.
Komponensek
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
Kritériumok az abszolút konvergenciára
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor konvergens és az összege:
- Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
- p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a valós sor konvergens.
- Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a valós sor divergens.
- Hányadoskritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
- Gyökkritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.