Matematika A3a 2008/3. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Komplex sorozatok

Minthogy C ≡ R² (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||₂ euklideszi normával kapcsolatosak mind R²-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R²-ben:

$\begin{matrix} (z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\ \\ \Updownarrow\mathrm{def}\\ \\ \exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon) \end{matrix}$

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(z_n))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R²-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (z_n) = (a_n + ib_n) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(a_n) konvergens és

(b_n) konvergens.

Ekkor lim(z_n) = lim(a_n) + i$\cdot$lim(b_n)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζ_n) komplex sorozat nem más, mint egy

$\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}$

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}$

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (z_n) komplex számsorozat.

1. abszolútérték: z_n $\to$ 0 akkor és csak akkor, ha |z_n| $\to$ 0
2. eltolás: z_n $\to$ z akkor és csak akkor, ha (z_n – z) $\to$ 0
3. "K $\cdot$ 0": ha (w_n) korlátos és z_n $\to$ 0, akkor (w_n $\cdot$ z_n) $\to$ 0
4. majoráns: ha (δ_n) $\to$ 0 valós és |z_n| < δ_n, akkor z_n $\to$ 0
5. hányadoskritérium: ha $\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,$, akkor z_n $\to$ 0
6. gyökkritérium: ha $\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,$, akkor z_n $\to$ 0

Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K $\cdot$ 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ_n.z_n skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.