Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet) |
||
4. sor: | 4. sor: | ||
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk: | Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk: | ||
:<math>ay''+by'+cy=f(x)\,</math> | :<math>ay''+by'+cy=f(x)\,</math> | ||
− | ha ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''R'''. Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között). | + | ha ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''R'''. |
+ | |||
+ | Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között). | ||
:<math>y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>, ha <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math> | :<math>y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>, ha <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math> | ||
− | :<math>y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}</math>, ha <math>\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> (gyök vagy belső rezonancia esete) | + | :<math>y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>, ha <math>\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> (gyök vagy belső rezonancia esete) |
− | :<math>y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>, ha <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,</math> | + | :<math>y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>, ha <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,</math> |
+ | |||
+ | Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható | ||
+ | :<math>f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math> | ||
+ | ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' ∈ '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés: | ||
+ | :<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math> | ||
+ | ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. | ||
+ | |||
+ | ===Példák=== | ||
A lap 2016. március 4., 21:55-kori változata
Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
ha a, b, c ∈ R.
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
- , ha
- , ha (gyök vagy belső rezonancia esete)
- , ha
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
Példák
3. gyakorlat |
5. gyakorlat |