Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet)
(Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet)
18. sor: 18. sor:
 
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
 
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
  
===Példák===
+
===Rezonanciák===
 +
'''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math>
 +
 
 +
''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)</math>
 +
Mivel
 +
:<math>f(x)=\sin(3x)\,</math>
 +
ezért <math>a+bi=3i\,</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)</math>
 +
alakban keresendő.
 +
 
 +
'''2.''' <math>y''+4y'+4=e^{2x}\,</math>
 +
 
 +
''Mo.'' <math>\lambda^2+4\lambda+4=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{2x}</math>
 +
Mivel
 +
:<math>f(x)=e^{2x}\,</math>
 +
ezért <math>a=2\,</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}</math>
 +
alakban keresendő.
 +
 
  
  

A lap 2016. március 4., 22:10-kori változata

<Matematika A3a 2008

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

ay''+by'+cy=f(x)\,

ha a, b, cR.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}, ha \lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,
y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,, ha \lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\, (gyök vagy belső rezonancia esete)
y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,, ha \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ibC szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Rezonanciák

1. y''+9y=\sin(3x)\,

Mo. λ2 + 9 = 0, azaz \lambda_{1,2}=\pm 3i\,. Innen

yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Mivel

f(x)=\sin(3x)\,

ezért a+bi=3i\, egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

yp(x) = Axcos(3x) + Bxsin(3x)

alakban keresendő.

2. y''+4y'+4=e^{2x}\,

Mo. λ2 + 4λ + 4 = 0, azaz \lambda_{1,2}=2\,. Innen

yH(x) = C1e2x + C2e2x

Mivel

f(x)=e^{2x}\,

ezért a=2\, kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

yp(x) = Ax2e2x

alakban keresendő.



3. gyakorlat
5. gyakorlat
Személyes eszközök