Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet) |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. | ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. | ||
− | === | + | ===Rezonanciák=== |
+ | '''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen | ||
+ | :<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)</math> | ||
+ | Mivel | ||
+ | :<math>f(x)=\sin(3x)\,</math> | ||
+ | ezért <math>a+bi=3i\,</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az | ||
+ | :<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)</math> | ||
+ | alakban keresendő. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>y''+4y'+4=e^{2x}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' <math>\lambda^2+4\lambda+4=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen | ||
+ | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{2x}</math> | ||
+ | Mivel | ||
+ | :<math>f(x)=e^{2x}\,</math> | ||
+ | ezért <math>a=2\,</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az | ||
+ | :<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}</math> | ||
+ | alakban keresendő. | ||
+ | |||
A lap 2016. március 4., 23:10-kori változata
Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
ha a, b, c ∈ R.
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
- , ha
- , ha (gyök vagy belső rezonancia esete)
- , ha
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
Rezonanciák
1.
Mo. λ2 + 9 = 0, azaz . Innen
- yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Mivel
ezért egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
- yp(x) = Axcos(3x) + Bxsin(3x)
alakban keresendő.
2.
Mo. λ2 + 4λ + 4 = 0, azaz . Innen
- yH(x) = C1e2x + C2e2x
Mivel
ezért kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
- yp(x) = Ax2e2x
alakban keresendő.
3. gyakorlat |
5. gyakorlat |