Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
'''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math> | '''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math> | ||
− | ''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen | + | ''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen |
:<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)</math> | :<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)</math> | ||
Mivel | Mivel | ||
:<math>f(x)=\sin(3x)\,</math> | :<math>f(x)=\sin(3x)\,</math> | ||
− | ezért <math>a+bi=3i | + | ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
− | :<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)</math> | + | :<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math> |
alakban keresendő. | alakban keresendő. | ||
'''2.''' <math>y''+4y'+4=e^{2x}\,</math> | '''2.''' <math>y''+4y'+4=e^{2x}\,</math> | ||
− | ''Mo.'' <math>\lambda^2+4\lambda+4=0</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen | + | ''Mo.'' <math>\lambda^2+4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen |
− | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{2x}</math> | + | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{2x}\,</math> |
Mivel | Mivel | ||
:<math>f(x)=e^{2x}\,</math> | :<math>f(x)=e^{2x}\,</math> | ||
− | ezért <math>a=2 | + | ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
− | :<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}</math> | + | :<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math> |
alakban keresendő. | alakban keresendő. | ||
A lap 2016. március 4., 22:12-kori változata
Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
ha a, b, c ∈ R.
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
- , ha
- , ha (gyök vagy belső rezonancia esete)
- , ha
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
Rezonanciák
1.
Mo. , azaz . Innen
- yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Mivel
ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
alakban keresendő.
2.
Mo. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
alakban keresendő.
3. gyakorlat |
5. gyakorlat |