|
|
(egy szerkesztő 40 közbeeső változata nincs mutatva) |
1. sor: |
1. sor: |
| ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
| + | ==Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet== |
| | | |
| + | Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk: |
| + | :<math>ay''+by'+cy=h(x)\,</math> |
| + | ha ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''R'''. |
| | | |
− | ==Komplex számkör és reprezentációi==
| + | Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között). |
− | A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
| + | |
| | | |
− | ===Algebrai modell=== | + | {| class="wikitable" |
− | A komplex számok olyan
| + | |- |
− | :<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
| + | | <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math> |
− | alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math> |
− | :<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
| + | |- |
− | A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
| + | | <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> |
− | :<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math> |
− | itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') ∈ '''R''', azaz "tiszta" valós.
| + | |- |
| + | | <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\,</math> |
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math> |
| + | |} |
| | | |
− | '''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
| + | Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható |
− | :<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math> | + | :<math>h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math> |
− | alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
| + | ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' ∈ '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés: |
− | :<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
| + | :<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math> |
− | azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
| + | ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. |
− | :<math>m(x)=a+bx\,</math>
| + | |
− | alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
| + | |
− | :<math>m(x)^2+1=0\,</math> | + | |
− | polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
| + | |
− | :<math>m(x)^2=-1\,</math>
| + | |
− | azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
| + | |
| | | |
| + | Ha '''nincs''' külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg ''x''-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.) |
| | | |
− | Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
| + | {| class="wikitable" |
| + | |- |
| + | ! <math>h(x)\,</math> |
| + | ! <math>y_P(x)\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>7x-8\,</math> |
| + | | <math>Ax+B\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\,</math> |
| + | | <math>Ax^2+Bx+C\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>\frac{1}{7}e^{2x}\,</math> |
| + | | <math>Ae^{2x}\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>\sin(3x),\;\cos(3x)</math> |
| + | | <math>A\sin(3x)+B\cos(3x)\,</math> |
| + | |} |
| | | |
− | Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
| + | ===Rezonanciák=== |
| + | '''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math> |
| | | |
− | '''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok | + | ''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen |
− | :(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a | + | :<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,</math> |
− | :λ(''a''+''b''i) = λ''a'' + λ''b''i, a λ valós számmal való szorzással | + | Mivel |
− | kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
| + | :<math>h(x)=\sin(3x)\,</math> |
| + | ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
| + | :<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math> |
| + | alakban keresendő. |
| | | |
− | ===Halmazelméleti modell===
| + | '''2.''' <math>y''-4y'+4y=e^{2x}\,</math> |
− | Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
| + | |
| | | |
− | A számpár reprezentációban:
| + | ''Mo.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen |
− | :<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
| + | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math> |
− | az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
| + | Mivel |
− | :<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
| + | :<math>h(x)=e^{2x}\,</math> |
− | művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
| + | ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
| + | :<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math> |
| + | alakban keresendő. |
| | | |
− | Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
| + | '''3.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math> |
| | | |
− | ===Geometriai modell=== | + | ''Mo.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen |
| + | :<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math> |
| + | Mivel |
| + | :<math>h(x)=xe^{x}\,</math> |
| + | ezért <math>a=1</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az |
| + | :<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math> |
| + | alakban keresendő. |
| | | |
− | A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
| + | ==Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer== |
− | :<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\; | + | Az |
− | \begin{pmatrix}
| + | :<math>\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
− | r\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
| + | egyenletrendszerben '''A''' konstans valós mátrix, '''b'''(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor '''A'''-nak vannak független sajátvektorai. |
− | r\sin\varphi & r\cos\varphi
| + | |
− | \end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
| + | |
− | Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
| + | |
− | :<math>\left\{\begin{pmatrix}
| + | |
− | a & -b\\
| + | |
− | b & \;\;a
| + | |
− | \end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
| + | |
− | Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
| + | |
| | | |
− | =='''C''' topológiája== | + | A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan <math>\mathbf{\Psi}(t)</math> mátrixfüggvényt, melyre: |
| + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math> |
| + | Belátjuk, hogy erre az '''A''' mátrix <math>\mathbf{s}_{1,2}</math> sajátvektoraiból összerakott |
| + | :<math>\mathbf{\Psi}(t)= |
| + | \begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}</math> |
| + | mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze <math>\mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i</math> (i=1;2). Ugyanis |
| + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)= |
| + | \begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | \lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{As}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)</math> |
| + | Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges <math>\mathbf{c}</math> konstans általános vektorral: |
| + | :<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}</math> |
| + | Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy |
| + | :<math>\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)</math> |
| + | Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy |
| + | :<math>(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | De mivel tudjuk, hogy <math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>, ezért |
| + | :<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az |
| + | :<math>\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)</math> |
| + | paraméteres egyenletrendszert kell megoldani <math>\dot{\mathbf{c}}(t)</math>-re. |
| | | |
− | '''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra:
| + | ===Példák=== |
− | :<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
| + | |
− | az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
| + | |
− | :<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
| + | |
− | Egy ''A'' ⊆ '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
| + | |
− | :<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
| + | |
− | Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''⊇ <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
| + | |
− | :<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
| + | |
− | </math>
| + | |
| | | |
− | ===Folytonosság=== | + | '''4.''' |
| + | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}</math> |
| | | |
− | Azt mondjuk, hogy az ''A'' ⊆ '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' ∈ '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> ⊇ ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| + | '''Mo.''' |
− | | + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t</math> |
− | A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
| + | :<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math> |
− | | + | Homogén: |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
| + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> |
− | :<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math> | + | :<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math> |
− | ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> ∈ Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
| + | :<math>\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}</math> karakterisztikus polinomjának megoldásai: <math>\lambda=-1; 5 |
− | # ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
| + | </math> |
− | # ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
| + | Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen |
− | | + | :<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}</math> |
− | | + | |
− | A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
| + | |
− | : <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math> | + | |
− | A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
| + | |
− | # <math>z\mapsto w + z\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''Megoldás.''
| + | |
− | | + | |
− | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
| + | |
− | | + | |
− | Végül a reciprok:
| + | |
− | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
| + | |
− | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
| + | |
− | :<math>\begin{pmatrix} | + | |
− | x \\
| + | |
− | y
| + | |
− | \end{pmatrix}\mapsto
| + | |
− | \begin{pmatrix}
| + | |
− | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\
| + | |
− | \cfrac{-y}{x^2+y^2}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math> | + | |
− | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
| + | |
− | :<math>f(z)=\left\{ | + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
| + | |
− | \end{matrix}
| + | |
− | \right.</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''Megoldás.''
| + | |
− |
| + | |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix} | + | |
− | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
| + | |
− | \cfrac{x^4}{x^2+y^2}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math> | + | |
− | | + | |
− | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
| + | |
− | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
| + | |
| és | | és |
− | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math> | + | :<math>x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}</math> |
− | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
| + | Inhomogén: |
− | | + | :<math>\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}</math> |
− | | + | Gauss--Jordan-nal: |
− | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
| + | :<math>\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}</math> |
− | | + | :<math> c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}</math> |
− | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
| + | :<math> x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math> |
− | # ''f'' + ''g''
| + | :<math>x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math> |
− | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
| + | |
− | # <math>\overline{f}</math>
| + | |
− | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g''
| + | |
− | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
| + | |
− | | + | |
− | ==Komplex számkör unicitása==
| + | |
− | '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
| + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
| + | |
− | a vektortérműveletek pedig:
| + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''R''') | + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''')
| + | |
− | | + | |
− | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
| + | |
− | | + | |
− | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
| + | |
− | :<math>\begin{pmatrix} | + | |
− | a & -b\\
| + | |
− | b & a
| + | |
− | \end{pmatrix}</math>
| + | |
− | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | [[Kategória:Matematika A3]]
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ==Szeparábilis differenciálegyenlet==
| + | |
− | | + | |
− | '''1. Feladat.''' Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?
| + | |
− | :<math>y'=\frac{\sin x}{y^6}\,</math>
| + | |
− | ''Megoldás.'' Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
| + | |
− | :<math>\frac{\sin x}{y^6(x)}\,</math>
| + | |
− | ott nem lenne értelmezve.
| + | |
− | | + | |
− | A mechanikus megoldási eljárás a következő:
| + | |
− | :<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin x}{y^6}\,</math>
| + | |
− | :<math>y^6\mathrm{d}y=\sin(x)\,\mathrm{d}x\,</math>
| + | |
− | :<math>\int y^6\mathrm{d}y=\int \sin(x)\,\mathrm{d}x\,</math>
| + | |
− | :<math>\frac{y^7}{7}=-\cos(x)+C\,</math>
| + | |
− | ez az implicit általános megoldás és
| + | |
− | :<math>y(x)=\sqrt[7]{-7\cos(x)+C}\,</math> | + | |
− | az explicit általános megoldás.
| + | |
− | | + | |
− | A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.
| + | |
− | | + | |
− | (0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.
| + | |
− | | + | |
− | ===Egzisztencia és unicitás===
| + | |
− | | + | |
− | Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J'' <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' ⊆ ''I'' megoldása az
| + | |
− | :<math>y'=f(x)g(y)\,</math> | + | |
− | ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden ''x'' ∈ ''K''-ra:
| + | |
− | :<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math>
| + | |
− | | + | |
− | Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt
| + | |
− | :<math>\int\frac{y'}{g(y)}\,dy=G(y)=\int f(x)\,dx=F(x)+C</math>
| + | |
− | azaz
| + | |
− | :<math>G\circ y= F+C\,</math>
| + | |
− | ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
| + | |
− | | + | |
− | Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.
| + | |
− | | + | |
− | Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:
| + | |
− | :<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math> | + | |
− | | + | |
− | Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y<sub>0</sub>)-F(x<sub>0</sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x<sub>0</sub> körül. Ilyen (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) Ez a kezdetiérték probléma szeparábilis esetben.
| + | |
− | | + | |
− | Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
| + | |
− | | + | |
− | '''2. Feladat.''' Oldjuk meg az <math>y'=ay\,</math> egyenletet.
| + | |
− | | + | |
− | '''3. Feladat.''' <math>(1+x^3)dx - x^2ydy=0\,</math>
| + | |
− | === Függvényegyenletek===
| + | |
− | | + | |
− | '''4. Feladat.''' Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az <math>y^2=x^2\,</math> függvényegyenletnek?
| + | |
− | | + | |
− | '''5. Feladat.''' Hány megoldása van az |f(x)|=e<sup>x</sup> '''R'''-en? Hány diffható ebből?
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ===Homogén fokszámú egyenletek===
| + | |
| | | |
− | Az F(x,y) ''n''-homogén függvény, ha minden λ esetén
| + | '''5.''' |
− | :<math>F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^n F(x,y).</math> | + | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math> |
− | Az y'=F(x,y) egyenlet homogén, ha F(x,y) 0-homogén.
| + | |
| | | |
− | Homogén egyenleteknél az y=ux helyettesítés vezet célra. Akkor
| |
− | :y'=u'x+u
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' (2x+y)dx + (y+x)dy =0
| |
− | Homogén, mert
| |
− | :<math>y'=-\frac{2x+y}{x+y}</math>
| |
− | jobb oldala 0-homogén:
| |
− | :<math>-\frac{2x+y}{x+y}=-\frac{2\lambda x+\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=-\frac{2x+y}{x+y}</math>
| |
− | :<math>u'x+u=-\frac{2+u}{1+u}</math>
| |
− | :<math>u'x=-\frac{2+2u+u^2}{1+u}</math>
| |
− | :<math>\frac{1+u}{2+2u+u^2}u'=-\frac{1}{x}</math>
| |
| | | |
− | ===Egzakt differenciálegynlet===
| |
| | | |
| + | <center> |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | </center> |
| | | |
| | | |
| [[Kategória:Matematika A3]] | | [[Kategória:Matematika A3]] |
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
alakban keresendő.
alakban keresendő.
alakban keresendő.
A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan mátrixfüggvényt, melyre:
Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy
Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen