Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Szeparábilis differenciálegyenlet)
(Rezonanciák)
 
(egy szerkesztő 39 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 +
==Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet==
  
 +
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
 +
:<math>ay''+by'+cy=h(x)\,</math>
 +
ha ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''.
  
==Komplex számkör és reprezentációi==
+
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó &lambda; gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
+
  
===Algebrai modell===
+
{| class="wikitable"
A komplex számok olyan
+
|-
:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
+
| <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math>
alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
+
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>
:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>  
+
|-
A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
+
| <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\,</math>
:<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
+
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>
itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') &isin; '''R''', azaz "tiszta" valós.
+
|-
 +
| <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\,</math>
 +
| <math>y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>
 +
|}
  
'''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós,  egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
+
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
:<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
+
:<math>h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math>
alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
+
ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' &isin; '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
:<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
+
:<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math>
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
+
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
:<math>m(x)=a+bx\,</math>
+
alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a 
+
:<math>m(x)^2+1=0\,</math>
+
polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
+
:<math>m(x)^2=-1\,</math>
+
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.  
+
  
 +
Ha '''nincs''' külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg ''x''-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)
  
Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
+
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math>h(x)\,</math>
 +
! <math>y_P(x)\,</math>
 +
|-
 +
| <math>7x-8\,</math>
 +
| <math>Ax+B\,</math>
 +
|-
 +
| <math>-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\,</math>
 +
| <math>Ax^2+Bx+C\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\frac{1}{7}e^{2x}\,</math>
 +
| <math>Ae^{2x}\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\sin(3x),\;\cos(3x)</math>
 +
| <math>A\sin(3x)+B\cos(3x)\,</math>
 +
|}
  
Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
+
===Rezonanciák===
 +
'''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math>
  
'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
+
''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen
:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
+
:<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,</math>
:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
+
Mivel
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
+
:<math>h(x)=\sin(3x)\,</math>
 +
ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
===Halmazelméleti modell===
+
'''2.''' <math>y''-4y'+4y=e^{2x}\,</math>
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
+
  
A számpár reprezentációban:
+
''Mo.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen
:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
+
:<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math>
az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
+
Mivel
:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
+
:<math>h(x)=e^{2x}\,</math>
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.  
+
ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
+
'''3.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math>
  
===Geometriai modell===
+
''Mo.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=xe^{x}\,</math>
 +
ezért <math>a=1</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
 +
:<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
+
==Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer==
:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
+
Az
\begin{pmatrix}
+
:<math>\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
+
egyenletrendszerben '''A''' konstans valós mátrix, '''b'''(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor '''A'''-nak vannak független sajátvektorai.
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
+
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
+
Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
+
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
+
a  & -b\\
+
b  & \;\;a
+
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
+
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
+
  
=='''C''' topológiája==
+
A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan <math>\mathbf{\Psi}(t)</math> mátrixfüggvényt, melyre:
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>
 +
Belátjuk, hogy erre az '''A''' mátrix <math>\mathbf{s}_{1,2}</math> sajátvektoraiból összerakott
 +
:<math>\mathbf{\Psi}(t)=
 +
\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze <math>\mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i</math> (i=1;2). Ugyanis
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
 +
\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)</math>
 +
Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges <math>\mathbf{c}</math> konstans általános vektorral:
 +
:<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}</math>
 +
Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy
 +
:<math>\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)</math>
 +
Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy
 +
:<math>(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
De mivel tudjuk, hogy <math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>, ezért
 +
:<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az
 +
:<math>\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)</math>
 +
paraméteres egyenletrendszert kell megoldani <math>\dot{\mathbf{c}}(t)</math>-re.
  
'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra:
+
===Példák===
:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
+
az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
+
:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
+
Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
+
:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
+
Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''&supe; <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
+
:<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
+
</math>
+
  
===Folytonosság===
+
'''4.'''
 +
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}</math>
  
Azt mondjuk, hogy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' &isin; '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> &supe; ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+
'''Mo.'''
 
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t</math>
A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
 
+
Homogén:
'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math>
:<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math> 
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> &isin; Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
+
:<math>\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}</math> karakterisztikus polinomjának megoldásai: <math>\lambda=-1; 5
# ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
+
</math>
# ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban 
+
Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen
 
+
:<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}</math>
 
+
A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
+
 
+
 
+
'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
+
: <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
+
A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
+
 
+
 
+
'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
+
# <math>z\mapsto w + z\,</math>  
+
# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
+
# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
+
# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math> 
+
 
+
''Megoldás.''
+
 
+
Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
+
 
+
2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
+
 
+
3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
+
 
+
Végül a reciprok:
+
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
+
így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
+
:<math>\begin{pmatrix}
+
x \\
+
y
+
\end{pmatrix}\mapsto
+
\begin{pmatrix}
+
\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
+
\cfrac{-y}{x^2+y^2}
+
\end{pmatrix}</math>
+
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+
 
+
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
+
:<math>f(z)=\left\{
+
\begin{matrix}
+
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
+
\\
+
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
+
\end{matrix}
+
\right.</math>  
+
 
+
''Megoldás.''
+
+
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
+
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
+
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
+
\end{pmatrix}</math>
+
 
+
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
+
:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
+
 
és  
 
és  
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
+
:<math>x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}</math>
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
+
Inhomogén:
 
+
:<math>\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}</math>
 
+
Gauss--Jordan-nal:
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
+
:<math>\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
 
+
:<math> c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
+
:<math> x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
# ''f'' + ''g''
+
:<math>x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
+
# <math>\overline{f}</math>
+
# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
+
is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban. 
+
 
+
 
+
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
+
 
+
==Komplex számkör unicitása==
+
'''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei  reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
+
:<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>  
+
a vektortérműveletek pedig:
+
:<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' &isin; '''R''')
+
:<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (&lambda;, ''a'', ''b'' &isin; '''R''')
+
 
+
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
+
 
+
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
+
:<math>\begin{pmatrix}  
+
a & -b\\
+
b & a
+
\end{pmatrix}</math>
+
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
+
 
+
 
+
  
 +
'''5.'''
 +
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math>
  
[[Kategória:Matematika A3]]
 
  
  
 +
<center>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap jelenlegi, 2020. április 22., 13:46-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

ay''+by'+cy=h(x)\,

ha a, b, cR.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}
\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,
\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\, y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ibC szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Ha nincs külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg x-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)

h(x)\, y_P(x)\,
7x-8\, Ax+B\,
-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\, Ax^2+Bx+C\,
\frac{1}{7}e^{2x}\, Ae^{2x}\,
\sin(3x),\;\cos(3x) A\sin(3x)+B\cos(3x)\,

Rezonanciák

1. y''+9y=\sin(3x)\,

Mo. \lambda^2+9=0\,, azaz \lambda_{1,2}=\pm 3i\,. Innen

y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,

Mivel

h(x)=\sin(3x)\,

ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,

alakban keresendő.

2. y''-4y'+4y=e^{2x}\,

Mo. \lambda^2-4\lambda+4=0\,, azaz \lambda_{1,2}=2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,

Mivel

h(x)=e^{2x}\,

ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,

alakban keresendő.

3. y''-3y'+2y=xe^{x}\,

Mo. \lambda^2-3\lambda+2=0\,, azaz \lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,

Mivel

h(x)=xe^{x}\,

ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az

y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,

alakban keresendő.

Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer

Az

\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)

egyenletrendszerben A konstans valós mátrix, b(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor A-nak vannak független sajátvektorai.

A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan \mathbf{\Psi}(t) mátrixfüggvényt, melyre:

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)

Belátjuk, hogy erre az A mátrix \mathbf{s}_{1,2} sajátvektoraiból összerakott

\mathbf{\Psi}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}

mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze \mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i (i=1;2). Ugyanis

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)

Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges \mathbf{c} konstans általános vektorral:

\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}

Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy

\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)

Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy

(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)
\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

De mivel tudjuk, hogy \dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t), ezért

\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az

\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)

paraméteres egyenletrendszert kell megoldani \dot{\mathbf{c}}(t)-re.

Példák

4.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}

Mo.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t
\dot{x_2}=3x_1+2x_2

Homogén:

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}=3x_1+2x_2
\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix} karakterisztikus polinomjának megoldásai: λ = − 1;5

Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen

\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}

és

x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}

Inhomogén:

\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}

Gauss--Jordan-nal:

\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}
 c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}
 x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}
x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}

5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}


3. gyakorlat
5. gyakorlat
Személyes eszközök