Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Rezonanciák)
 
(egy szerkesztő 37 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 +
==Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet==
  
 +
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
 +
:<math>ay''+by'+cy=h(x)\,</math>
 +
ha ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''.
  
 +
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó &lambda; gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
  
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math>
 +
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>
 +
|-
 +
| <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\,</math>
 +
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\,</math>
 +
| <math>y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>
 +
|}
  
 +
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
 +
:<math>h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' &isin; '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
 +
:<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
  
==Komplex sorozatok==
+
Ha '''nincs''' külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg ''x''-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)  
Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
+
:<math>
+
\begin{matrix}
+
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
+
\\
+
\Updownarrow\mathrm{def}\\
+
\\
+
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
+
\end{matrix}</math>
+
Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
+
  
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
+
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math>h(x)\,</math>
 +
! <math>y_P(x)\,</math>
 +
|-
 +
| <math>7x-8\,</math>
 +
| <math>Ax+B\,</math>
 +
|-
 +
| <math>-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\,</math>
 +
| <math>Ax^2+Bx+C\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\frac{1}{7}e^{2x}\,</math>
 +
| <math>Ae^{2x}\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\sin(3x),\;\cos(3x)</math>
 +
| <math>A\sin(3x)+B\cos(3x)\,</math>
 +
|}
  
'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
+
===Rezonanciák===
:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
+
'''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math>
:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
+
  
Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
+
''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=\sin(3x)\,</math>
 +
ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
+
'''2.''' <math>y''-4y'+4y=e^{2x}\,</math>
:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
+
függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
+
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
+
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
+
===Nullsorozatok===
+
  
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
+
''Mo.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=e^{2x}\,</math>
 +
ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
+
'''3.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math>
# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
+
# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
+
# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
+
# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
+
# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
+
# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
+
  
 +
''Mo.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=xe^{x}\,</math>
 +
ezért <math>a=1</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
 +
:<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
+
==Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer==
 +
Az
 +
:<math>\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
egyenletrendszerben '''A''' konstans valós mátrix, '''b'''(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor '''A'''-nak vannak független sajátvektorai.
  
 +
A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan <math>\mathbf{\Psi}(t)</math> mátrixfüggvényt, melyre:
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>
 +
Belátjuk, hogy erre az '''A''' mátrix <math>\mathbf{s}_{1,2}</math> sajátvektoraiból összerakott
 +
:<math>\mathbf{\Psi}(t)=
 +
\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze <math>\mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i</math> (i=1;2). Ugyanis
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
 +
\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)</math>
 +
Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges <math>\mathbf{c}</math> konstans általános vektorral:
 +
:<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
 +
& | & & |\\
 +
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}</math>
 +
Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy
 +
:<math>\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)</math>
 +
Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy
 +
:<math>(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
De mivel tudjuk, hogy <math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>, ezért
 +
:<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az
 +
:<math>\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)</math>
 +
paraméteres egyenletrendszert kell megoldani <math>\dot{\mathbf{c}}(t)</math>-re.
  
'''1. Feladat'''
+
===Példák===
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
+
  
''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
+
'''4.'''
+
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}</math>
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
+
  
'''2. Feladat.'''  
+
'''Mo.'''
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math>
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t</math>
ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
 
+
Homogén:
''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math>
 
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
+
:<math>\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}</math> karakterisztikus polinomjának megoldásai: <math>\lambda=-1; 5
ugyanis
+
</math>
: <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
+
Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen
 
+
:<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}</math>
 
+
és
'''3. Feladat.'''
+
:<math>x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}</math>
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
+
Inhomogén:
 
+
:<math>\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}</math>
''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
+
Gauss--Jordan-nal:
 
+
:<math>\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
+
:<math> c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
+
:<math> x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
+
:<math>x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
 
+
==Komplex sorok==
+
 
+
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
+
: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
+
részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a 
+
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
+
szimbólummal jelöljük.
+
 
+
===Komponensek===
+
 
+
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
+
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,  </math>
+
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
+
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,  </math> 
+
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
+
 
+
===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
+
 
+
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
+
 
+
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
+
 
+
===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
+
 
+
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
+
 
+
'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
+
# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
+
# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
+
#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
+
# '''Összehasonlító kritérium:'''  ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és  ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
+
# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
+
#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
+
# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
+
# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
+
 
+
 
+
'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
+
 
+
 
+
'''4.'''
+
Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
+
:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
+
  
 
'''5.'''  
 
'''5.'''  
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
+
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math>
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
+
#Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
+
 
+
''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
+
 
+
:<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
+
azaz 0-hoz tart-
+
 
+
 
+
'''6.'''
+
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
+
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
+
#Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
+
 
+
''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
+
 
+
:<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
+
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
+
 
+
==Komplex hatványsorok==
+
 
+
'''Definíció''' – ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C'''. Ekkor az  &sum;(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
+
:<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
+
hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' &isin; | &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
+
 
+
A továbbiakban csak a  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
+
 
+
'''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
+
:<math>R=\left\{
+
\begin{matrix}
+
0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
+
+\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
+
\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
+
\end{matrix}
+
 
+
\right.</math>
+
akkor  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a  B<sub>1/R</sub>(&infin;) gömbön.
+
 
+
A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy 
+
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
+
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is: 
+
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math>
+
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
+
 
+
 
+
'''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
+
#<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math>
+
#<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math>
+
#<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math>
+
 
+
 
+
'''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan &delta; sugarú környezet és &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' &isin; B<sub>&delta;</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és
+
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>
+
Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>).
+
 
+
'''8. Feladat'''
+
# Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
+
# Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
+
#:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math>
+
 
+
===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
+
 
+
'''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
+
  
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' &isin; Reg(''z''<sub>0</sub>).
 
  
''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és &Delta;''z'' olyan, hogy még ''z'' + &Delta;''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
 
: <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
 
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
 
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
 
:<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
 
vagy ha tetszik nemnulla &Delta;''z''-vel:
 
:<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
 
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
 
:<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
 
ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + &Delta;''z'' | < r < R (ez  utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
 
:<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
 
Így azt kaptuk, hogy minden olyan  &Delta;''z''-re, melyre | ''z'' + &Delta;''z'' | < r, teljesül és |&Delta;''z''| <&epsilon;/(1+&sum;<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:&delta;
 
:<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
 
  
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
+
<center>
:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
+
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap jelenlegi, 2020. április 22., 13:46-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

ay''+by'+cy=h(x)\,

ha a, b, cR.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}
\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,
\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\, y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ibC szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Ha nincs külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg x-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)

h(x)\, y_P(x)\,
7x-8\, Ax+B\,
-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\, Ax^2+Bx+C\,
\frac{1}{7}e^{2x}\, Ae^{2x}\,
\sin(3x),\;\cos(3x) A\sin(3x)+B\cos(3x)\,

Rezonanciák

1. y''+9y=\sin(3x)\,

Mo. \lambda^2+9=0\,, azaz \lambda_{1,2}=\pm 3i\,. Innen

y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,

Mivel

h(x)=\sin(3x)\,

ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,

alakban keresendő.

2. y''-4y'+4y=e^{2x}\,

Mo. \lambda^2-4\lambda+4=0\,, azaz \lambda_{1,2}=2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,

Mivel

h(x)=e^{2x}\,

ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,

alakban keresendő.

3. y''-3y'+2y=xe^{x}\,

Mo. \lambda^2-3\lambda+2=0\,, azaz \lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,

Mivel

h(x)=xe^{x}\,

ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az

y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,

alakban keresendő.

Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer

Az

\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)

egyenletrendszerben A konstans valós mátrix, b(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor A-nak vannak független sajátvektorai.

A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan \mathbf{\Psi}(t) mátrixfüggvényt, melyre:

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)

Belátjuk, hogy erre az A mátrix \mathbf{s}_{1,2} sajátvektoraiból összerakott

\mathbf{\Psi}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}

mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze \mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i (i=1;2). Ugyanis

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)

Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges \mathbf{c} konstans általános vektorral:

\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}

Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy

\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)

Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy

(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)
\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

De mivel tudjuk, hogy \dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t), ezért

\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az

\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)

paraméteres egyenletrendszert kell megoldani \dot{\mathbf{c}}(t)-re.

Példák

4.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}

Mo.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t
\dot{x_2}=3x_1+2x_2

Homogén:

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}=3x_1+2x_2
\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix} karakterisztikus polinomjának megoldásai: λ = − 1;5

Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen

\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}

és

x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}

Inhomogén:

\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}

Gauss--Jordan-nal:

\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}
 c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}
 x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}
x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}

5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}


3. gyakorlat
5. gyakorlat
Személyes eszközök