Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(C kompaktifikálása)
(Rezonanciák)
 
(egy szerkesztő 31 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
+
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 +
==Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet==
  
==Komplex számkör és reprezentációi==
+
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:
A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
+
:<math>ay''+by'+cy=h(x)\,</math>
 +
ha ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''.  
  
===Algebrai modell===
+
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó &lambda; gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
A komplex számok olyan
+
:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
+
alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
+
:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>  
+
A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
+
:<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
+
itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') &isin; '''R''', azaz "tiszta" valós.
+
  
'''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós,  egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
+
{| class="wikitable"
:<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
+
|-
alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
+
| <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math>
:<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
+
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
+
|-
:<math>m(x)=a+bx\,</math>
+
| <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\,</math>
alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a 
+
| <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>
:<math>m(x)^2+1=0\,</math>
+
|-
polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
+
| <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\,</math>
:<math>m(x)^2=-1\,</math>
+
| <math>y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
+
|}
  
 +
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
 +
:<math>h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' &isin; '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
 +
:<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
  
Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
+
Ha '''nincs''' külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg ''x''-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)
  
Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
+
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math>h(x)\,</math>
 +
! <math>y_P(x)\,</math>
 +
|-
 +
| <math>7x-8\,</math>
 +
| <math>Ax+B\,</math>
 +
|-
 +
| <math>-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\,</math>
 +
| <math>Ax^2+Bx+C\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\frac{1}{7}e^{2x}\,</math>
 +
| <math>Ae^{2x}\,</math>
 +
|-
 +
| <math>\sin(3x),\;\cos(3x)</math>
 +
| <math>A\sin(3x)+B\cos(3x)\,</math>
 +
|}
  
'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
+
===Rezonanciák===
:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
+
'''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math>
:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
+
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
+
  
===Halmazelméleti modell===
+
''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).  
+
:<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=\sin(3x)\,</math>
 +
ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
A számpár reprezentációban:
+
'''2.''' <math>y''-4y'+4y=e^{2x}\,</math>
:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
+
az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
+
:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
+
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
+
  
Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
+
''Mo.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen
 +
:<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math>
 +
Mivel
 +
:<math>h(x)=e^{2x}\,</math>
 +
ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az
 +
:<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math>
 +
alakban keresendő.
  
===Geometriai modell===
+
'''3.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math>
  
A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
+
''Mo.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen
:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
+
:<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math>
\begin{pmatrix}
+
Mivel
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
+
:<math>h(x)=xe^{x}\,</math>
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
+
ezért <math>a=1</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
+
:<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math>
Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
+
alakban keresendő.
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
+
a  & -b\\
+
b  & \;\;a
+
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
+
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
+
  
==Komplex számkör unicitása==
+
==Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer==
'''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei  reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
+
Az
:<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
+
:<math>\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
a vektortérműveletek pedig:
+
egyenletrendszerben '''A''' konstans valós mátrix, '''b'''(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor '''A'''-nak vannak független sajátvektorai.
:<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' &isin; '''R''')
+
:<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (&lambda;, ''a'', ''b'' &isin; '''R''')
+
  
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
+
A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan <math>\mathbf{\Psi}(t)</math> mátrixfüggvényt, melyre:
 
+
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
+
Belátjuk, hogy erre az '''A''' mátrix <math>\mathbf{s}_{1,2}</math> sajátvektoraiból összerakott
:<math>\begin{pmatrix}
+
:<math>\mathbf{\Psi}(t)=
a & -b\\
+
\begin{bmatrix}
b & a
+
& | & & |\\
\end{pmatrix}</math>
+
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\& \mathbf{s}_2\\
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
+
  & | & & |
+
 
+
=='''C''' topológiája==
+
 
+
'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra:  
+
:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
+
az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
+
:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
+
Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
+
:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
+
Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''&supe; <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
+
:<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
+
</math>
+
 
+
=='''C''' kompaktifikálása==
+
''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a ''K''-t. Szimbolikusan:
+
:''K'' kompakt, ha minden (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> halmazrendszerhez, melyre
+
:# &Omega;<sub>i</sub> nyílt minden i&isin;I-re és
+
:# ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub>
+
:létezik J &sube; I véges indexhalmaz, hogy ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;J</sub>
+
'''R'''<sup>N</sup>-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga '''C''' nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont '''C''' egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével '''C''' kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely '''R'''<sup>3</sup>-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.
+
 
+
 
+
A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az '''R'''<sup>3</sup>-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az <nowiki>[xy]</nowiki> síkra, mint a '''C''' komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú ''P'' pólust és egy ''a'' + ''b''i komplex szám esetén az (''a'',''b'',0) pontot kössük össze ''P''-vel egy ''e'' egyenes által. Ekkor az ''e'' egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az ''a'' + ''b''i-nek megfelelő pontot. Ha az ''a'' + ''b''i-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:
+
:<math>a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>
+
 
+
'''Megjegyzés.''' Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis
+
:<math>z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\,</math> és <math>w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,</math>
+
Ekkor a ''z'' konjugáltját a ''w''-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:
+
:<math>w\cdot \overline{z}=1\,</math>
+
Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy ''w'' nem más, mint a ''z'' ''inverziója'' az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a 
+
:<math>w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,</math>
+
leképezés.
+
Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.
+
 
+
 
+
Ha tehát a '''C'''-hez hozzáveszünk egy &infin;-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a ''P'' pólust, akkor a
+
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
+
halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell &infin; gömbi környezeteit.
+
Ezek a következő alakú halmazok lesznek:
+
:<math>\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,</math>
+
ahol ''r'' > 0.
+
 
+
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy '''C'''U{&infin;} ''kompakt'' (toplologikusan, ill. gyakorlásképpen sorozatkompakt)!  
+
 
+
''(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)''
+
 
+
Ha '''C'''U{&infin;}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor &infin;-t is lefedi belőlük egy, mondjuk ''U''. ''U'' lefedi az &infin; egy gömbi környezetét, mondjuk B<sub>r</sub>(&infin;)-t. Elegendő tehát tekintenünk '''C'''U{&infin;} lefedéséhez a halmazrendszerből az ''U''-t és a B<sub>r</sub>(&infin;) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B<sub>r</sub>(&infin;) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.
+
 
+
==Differenciálhatóság==
+
==='''R'''-differenciálhatóság===
+
Legyen ''f'' : '''C''' &sup;<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
+
:<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
+
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
+
:<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
+
szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
+
 
+
''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
+
 
+
'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
+
:<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
+
ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
+
 
+
Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
+
:<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
+
 
+
A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
+
:<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
+
És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
+
====Példák====
+
'''1.''' Legyen ''w'' &isin; '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
+
:<math>f(z)=w\cdot z</math>
+
Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
+
:<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
+
w_1x-w_2y\\
+
w_1y+w_2x
+
 
\end{bmatrix}</math>
 
\end{bmatrix}</math>
És a derivált:
+
mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze <math>\mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i</math> (i=1;2). Ugyanis
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
+
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
w_1 & -w_2\\
+
\begin{bmatrix}
w_2 & w_1
+
& | & & |\\
\end{bmatrix}
+
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
</math>
+
& | & & |
Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
+
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
:<math>[z]=\begin{bmatrix}
+
& | & & |\\
a & -b\\
+
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
b & a
+
& | & & |
\end{bmatrix}
+
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)</math>
</math>
+
Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges <math>\mathbf{c}</math> konstans általános vektorral:
a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
+
:<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
+
& | & & |\\
'''2.'''
+
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 +
& | & & |
 +
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}</math>
 +
Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy
 +
:<math>\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)</math>
 +
Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy
 +
:<math>(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
:<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
De mivel tudjuk, hogy <math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>, ezért
 +
:<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math>
 +
Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az
 +
:<math>\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)</math>
 +
paraméteres egyenletrendszert kell megoldani <math>\dot{\mathbf{c}}(t)</math>-re.
  
''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>
+
===Példák===
  
Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
+
'''4.'''  
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}</math>
2x & -2y\\
+
2y & 2x
+
\end{pmatrix}</math>
+
azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
+
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
+
</math>
+
  
'''3.''' Számítsuk ki az  <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
+
'''Mo.'''
 
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t</math>
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
:<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
+
Homogén:
1 & 0\\
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math>
0 & -1
+
:<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math>
\end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
+
:<math>\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}</math> karakterisztikus polinomjának megoldásai: <math>\lambda=-1; 5
azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
+
:<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
+
csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
+
 
+
=='''C'''-differenciálhatóság==
+
A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
+
:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
+
:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
+
mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
+
:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>  
+
mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
+
 
+
'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
 
+
Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
+
 
+
Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
+
:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
+
 
+
Pontbeli deriváltra példa a következő.
+
 
+
'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
+
:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
+
0, & z=0
+
\end{cases}
+
 
</math>
 
</math>
''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
+
Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen
:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
+
:<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}</math>
Ha ''n'' = 0, akkor
+
és
:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>  
+
:<math>x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}</math>
aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
+
Inhomogén:
 
+
:<math>\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}</math>
Ha ''n'' < 0, akkor
+
Gauss--Jordan-nal:
:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
+
:<math>\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
+
:<math> c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}</math>
 
+
:<math> x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
+
:<math>x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math>
 
+
'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
+
:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
+
:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
+
 
+
''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w' komplex szám.
+
Tekintsük a következő határértéket:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
+
Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
+
Azaz
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
+
Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
+
Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
+
 
+
Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.
+
 
+
'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor
+
:<math>\begin{cases}
+
\partial_xu=\partial_yv\\
+
\partial_yu=-\partial_x v
+
\end{cases}</math>
+
 
+
'''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
+
:<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
+
 
+
'''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
+
 
+
'''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+
  
'''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+
'''5.'''  
 +
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math>
  
  
  
 +
<center>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap jelenlegi, 2020. április 22., 13:46-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

ay''+by'+cy=h(x)\,

ha a, b, cR.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}
\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\, y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,
\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\, y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ibC szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Ha nincs külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg x-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.)

h(x)\, y_P(x)\,
7x-8\, Ax+B\,
-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\, Ax^2+Bx+C\,
\frac{1}{7}e^{2x}\, Ae^{2x}\,
\sin(3x),\;\cos(3x) A\sin(3x)+B\cos(3x)\,

Rezonanciák

1. y''+9y=\sin(3x)\,

Mo. \lambda^2+9=0\,, azaz \lambda_{1,2}=\pm 3i\,. Innen

y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,

Mivel

h(x)=\sin(3x)\,

ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,

alakban keresendő.

2. y''-4y'+4y=e^{2x}\,

Mo. \lambda^2-4\lambda+4=0\,, azaz \lambda_{1,2}=2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,

Mivel

h(x)=e^{2x}\,

ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az

y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,

alakban keresendő.

3. y''-3y'+2y=xe^{x}\,

Mo. \lambda^2-3\lambda+2=0\,, azaz \lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,. Innen

y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,

Mivel

h(x)=xe^{x}\,

ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az

y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,

alakban keresendő.

Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer

Az

\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)

egyenletrendszerben A konstans valós mátrix, b(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor A-nak vannak független sajátvektorai.

A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan \mathbf{\Psi}(t) mátrixfüggvényt, melyre:

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)

Belátjuk, hogy erre az A mátrix \mathbf{s}_{1,2} sajátvektoraiból összerakott

\mathbf{\Psi}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}

mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze \mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i (i=1;2). Ugyanis

\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=
\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
\lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{As}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)

Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges \mathbf{c} konstans általános vektorral:

\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}
 & | & & |\\
e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\!  & \mathbf{s}_2\\
 & | & & |
\end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}

Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy

\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)

Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy

(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)
\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

De mivel tudjuk, hogy \dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t), ezért

\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)

Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az

\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)

paraméteres egyenletrendszert kell megoldani \dot{\mathbf{c}}(t)-re.

Példák

4.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}

Mo.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t
\dot{x_2}=3x_1+2x_2

Homogén:

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}=3x_1+2x_2
\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix} karakterisztikus polinomjának megoldásai: λ = − 1;5

Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen

\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}

és

x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}

Inhomogén:

\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}

Gauss--Jordan-nal:

\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}
 c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}
 x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}
x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}

5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}


3. gyakorlat
5. gyakorlat
Személyes eszközök