Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Szeparábilis differenciálegyenlet)
22. sor: 22. sor:
 
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.  
 
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.  
  
 +
===Általános módszer===
 +
 +
Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J''  <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' &sube; ''I'' megoldása az
 +
:<math>y'=f(x)g(y)\,</math>
 +
un. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden ''x'' &isin; ''K''-ra:
 +
:<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math>
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. október 9., 11:05-kori változata

<Matematika A3a 2008

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?

y'=\frac{\sin x}{y^6}\,

Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor

\frac{\sin x}{y^6(x)}\,

ott nem lenne értelmezve.

A mechanikus megoldási eljárás a következő:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin x}{y^6}\,
y^6\mathrm{d}y=\sin(x)\,\mathrm{d}x\,
\int y^6\mathrm{d}y=\int \sin(x)\,\mathrm{d}x\,
\frac{y^7}{7}=-\cos(x)+C\,

ez az implicit általános megoldás és

y(x)=\sqrt[7]{-7\cos(x)+C}\,

az explicit általános megoldás.

A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.

(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.

Általános módszer

Legyen f : I \to R, g: J \to R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K \to J differenciálható függvény, ahol KI megoldása az

y'=f(x)g(y)\,

un. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden xK-ra:

y'(x)=f(x)g(y(x))\,
Személyes eszközök