Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Általános módszer)
(Egzisztencia és unicitás)
26. sor: 26. sor:
 
Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J''  <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' &sube; ''I'' megoldása az
 
Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J''  <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' &sube; ''I'' megoldása az
 
:<math>y'=f(x)g(y)\,</math>
 
:<math>y'=f(x)g(y)\,</math>
un. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden ''x'' &isin; ''K''-ra:
+
ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden ''x'' &isin; ''K''-ra:
 
:<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math>
 
:<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math>
 +
 +
Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt
 +
:<math>\int\frac{y'}{g(y)}\,dy=G(y)=\int f(x)\,dx=F(x)+C</math>
 +
azaz
 +
:<math>G\circ y= F+C\,</math>
 +
ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
 +
 +
Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.
 +
 +
Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:
 +
:<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math>
 +
 +
Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y<sub>0<\sub>)-F(x<sub>0<\sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x<sub>0<\sub> körül. Ilyen (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.)
 +
 +
Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
 +
 +
'''2. Feladat.''' Oldjuk meg az <math>y'=ay\,</math> egyenletet.
 +
 +
=== Függvényegyenletek===
 +
 +
'''3. Feladat.''' Van-e nemdifferenciálható megoldása az y^2=x^2\, függvényegynletnek?
 +
 +
'''4. Feladat.''' Hány megoldása van az |f(x)|=e<sup>x</sup> '''R'''-en? Hány diffható ebből?
 +
 +
 +
==kljklj==
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. október 9., 13:43-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?

y'=\frac{\sin x}{y^6}\,

Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor

\frac{\sin x}{y^6(x)}\,

ott nem lenne értelmezve.

A mechanikus megoldási eljárás a következő:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin x}{y^6}\,
y^6\mathrm{d}y=\sin(x)\,\mathrm{d}x\,
\int y^6\mathrm{d}y=\int \sin(x)\,\mathrm{d}x\,
\frac{y^7}{7}=-\cos(x)+C\,

ez az implicit általános megoldás és

y(x)=\sqrt[7]{-7\cos(x)+C}\,

az explicit általános megoldás.

A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.

(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.

Egzisztencia és unicitás

Legyen f : I \to R, g: J \to R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K \to J differenciálható függvény, ahol KI megoldása az

y'=f(x)g(y)\,

ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden xK-ra:

y'(x)=f(x)g(y(x))\,

Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt

\int\frac{y'}{g(y)}\,dy=G(y)=\int f(x)\,dx=F(x)+C

azaz

G\circ y= F+C\,

ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.

Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.

Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:

y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,

Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x0<\sub>, y0) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y0<\sub>)-F(x0<\sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x0<\sub> körül. Ilyen (x0<\sub>, y0) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.)

Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.

2. Feladat. Oldjuk meg az y'=ay\, egyenletet.

Függvényegyenletek

3. Feladat. Van-e nemdifferenciálható megoldása az y^2=x^2\, függvényegynletnek?

4. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=ex R-en? Hány diffható ebből?


kljklj

Személyes eszközök