Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2008. október 9., 14:53-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Szeparábilis differenciálegyenlet

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?

$y'=\frac{\sin x}{y^6}\,$

Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor

$\frac{\sin x}{y^6(x)}\,$

ott nem lenne értelmezve.

A mechanikus megoldási eljárás a következő:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin x}{y^6}\,$

$y^6\mathrm{d}y=\sin(x)\,\mathrm{d}x\,$

$\int y^6\mathrm{d}y=\int \sin(x)\,\mathrm{d}x\,$

$\frac{y^7}{7}=-\cos(x)+C\,$

ez az implicit általános megoldás és

$y(x)=\sqrt[7]{-7\cos(x)+C}\,$

az explicit általános megoldás.

A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.

(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.

Egzisztencia és unicitás

Legyen f : I $\to$ R, g: J $\to$ R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K $\to$ J differenciálható függvény, ahol K ⊆ I megoldása az

$y'=f(x)g(y)\,$

ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden x ∈ K-ra:

$y'(x)=f(x)g(y(x))\,$

Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt

$\int\frac{y'}{g(y)}\,dy=G(y)=\int f(x)\,dx=F(x)+C$

azaz

$G\circ y= F+C\,$

ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.

Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.

Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:

$y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,$

Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x₀, y₀) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y₀)-F(x₀)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x₀ körül. Ilyen (x₀, y₀) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) Ez a kezdetiérték probléma szeparábilis esetben.

Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.

2. Feladat. Oldjuk meg az $y'=ay\,$ egyenletet.

3. Feladat. $(1+x^3)dx - x^2ydy=0\,$

Függvényegyenletek

4. Feladat. Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az $y^2=x^2\,$ függvényegyenletnek?

5. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=e^x R-en? Hány diffható ebből?

Homogén fokszámú egyenletek

@@ 40. sor: / 40. sor: @@
 :<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math>
-Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y<sub>0<\sub>)-F(x<sub>0<\sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x<sub>0<\sub> körül. Ilyen (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.)
+Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y<sub>0</sub>)-F(x<sub>0</sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x<sub>0</sub> körül. Ilyen (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) Ez a kezdetiérték probléma szeparábilis esetben.
 Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
@@ 46. sor: / 46. sor: @@
 '''2. Feladat.''' Oldjuk meg az <math>y'=ay\,</math> egyenletet.
+'''3. Feladat.''' <math>(1+x^3)dx - x^2ydy=0\,</math>
 === Függvényegyenletek===
-'''3. Feladat.''' Van-e nemdifferenciálható megoldása az y^2=x^2\, függvényegynletnek?
+'''4. Feladat.''' Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az <math>y^2=x^2\,</math> függvényegyenletnek?
-'''4. Feladat.''' Hány megoldása van az |f(x)|=e<sup>x</sup> '''R'''-en? Hány diffható ebből?
+'''5. Feladat.''' Hány megoldása van az |f(x)|=e<sup>x</sup> '''R'''-en? Hány diffható ebből?
+===Homogén fokszámú egyenletek===
-==kljklj==
 [[Kategória:Matematika A3]]

Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A lap 2008. október 9., 14:53-kori változata

Tartalomjegyzék

Szeparábilis differenciálegyenlet

Egzisztencia és unicitás

Függvényegyenletek

Homogén fokszámú egyenletek

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök