|
|
(egy szerkesztő 35 közbeeső változata nincs mutatva) |
1. sor: |
1. sor: |
− | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | + | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
| + | ==Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet== |
| | | |
− | ==Komplex számkör és reprezentációi== | + | Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk: |
− | A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
| + | :<math>ay''+by'+cy=h(x)\,</math> |
| + | ha ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''R'''. |
| | | |
− | ===Algebrai modell===
| + | Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között). |
− | A komplex számok olyan
| + | |
− | :<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
| + | |
− | alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
| + | |
− | :<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
| + | |
− | A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
| + | |
− | :<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
| + | |
− | itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') ∈ '''R''', azaz "tiszta" valós.
| + | |
| | | |
− | '''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
| + | {| class="wikitable" |
− | :<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
| + | |- |
− | alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
| + | | <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math> |
− | :<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math> |
− | azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
| + | |- |
− | :<math>m(x)=a+bx\,</math>
| + | | <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> |
− | alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math> |
− | :<math>m(x)^2+1=0\,</math>
| + | |- |
− | polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
| + | | <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\in\mathbf{C}\,</math> |
− | :<math>m(x)^2=-1\,</math>
| + | | <math>y_H(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math> |
− | azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
| + | |} |
| | | |
| + | Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható |
| + | :<math>h(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math> |
| + | ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' ∈ '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés: |
| + | :<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math> |
| + | ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. |
| | | |
− | Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
| + | Ha '''nincs''' külső rezonancia, akkor az alábbi "szimbolikus" táblázat súg, hogy az inhomogén tag (gerjesztés) ismeretében milyen alakban keressük a partikuláris megoldást. (Ha van külső rezonancia, akkor annyiszor szorozzuk meg ''x''-szel ezt az értéket, hogy az már éppen lineárisan független legyen a homogén alapmegoldásoktól.) |
| | | |
− | Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
| + | {| class="wikitable" |
| + | |- |
| + | ! <math>h(x)\,</math> |
| + | ! <math>y_P(x)\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>7x-8\,</math> |
| + | | <math>Ax+B\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>-x^2+\frac{1}{8}x-\sqrt{2}\,</math> |
| + | | <math>Ax^2+Bx+C\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>\frac{1}{7}e^{2x}\,</math> |
| + | | <math>Ae^{2x}\,</math> |
| + | |- |
| + | | <math>\sin(3x),\;\cos(3x)</math> |
| + | | <math>A\sin(3x)+B\cos(3x)\,</math> |
| + | |} |
| | | |
− | '''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok | + | ===Rezonanciák=== |
− | :(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
| + | '''1.''' <math>y''+9y=\sin(3x)\,</math> |
− | :λ(''a''+''b''i) = λ''a'' + λ''b''i, a λ valós számmal való szorzással
| + | |
− | kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
| + | |
| | | |
− | ===Halmazelméleti modell=== | + | ''Mo.'' <math>\lambda^2+9=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\pm 3i\,</math>. Innen |
− | Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
| + | :<math>y_H(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\,</math> |
| + | Mivel |
| + | :<math>h(x)=\sin(3x)\,</math> |
| + | ezért <math>a+bi=3i</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
| + | :<math>y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\,</math> |
| + | alakban keresendő. |
| | | |
− | A számpár reprezentációban:
| + | '''2.''' <math>y''-4y'+4y=e^{2x}\,</math> |
− | :<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
| + | |
− | az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
| + | |
− | :<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
| + | |
− | művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
| + | |
| | | |
− | Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
| + | ''Mo.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen |
| + | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math> |
| + | Mivel |
| + | :<math>h(x)=e^{2x}\,</math> |
| + | ezért <math>a=2</math> kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását az |
| + | :<math>y_p(x)=Ax^2e^{2x}\,</math> |
| + | alakban keresendő. |
| | | |
− | ===Geometriai modell=== | + | '''3.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math> |
| | | |
− | A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
| + | ''Mo.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen |
− | :<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\; | + | :<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math> |
− | \begin{pmatrix}
| + | Mivel |
− | r\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
| + | :<math>h(x)=xe^{x}\,</math> |
− | r\sin\varphi & r\cos\varphi
| + | ezért <math>a=1</math> egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az |
− | \end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
| + | :<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math> |
− | Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
| + | alakban keresendő. |
− | :<math>\left\{\begin{pmatrix} | + | |
− | a & -b\\
| + | |
− | b & \;\;a
| + | |
− | \end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
| + | |
− | Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
| + | |
| | | |
− | =='''C''' topológiája== | + | ==Állandó együtthatós elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer== |
| + | Az |
| + | :<math>\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | egyenletrendszerben '''A''' konstans valós mátrix, '''b'''(t) vektorfüggvény. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amikor '''A'''-nak vannak független sajátvektorai. |
| | | |
− | '''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra:
| + | A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan <math>\mathbf{\Psi}(t)</math> mátrixfüggvényt, melyre: |
− | :<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math> | + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math> |
− | az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
| + | Belátjuk, hogy erre az '''A''' mátrix <math>\mathbf{s}_{1,2}</math> sajátvektoraiból összerakott |
− | :<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math> | + | :<math>\mathbf{\Psi}(t)= |
− | Egy ''A'' ⊆ '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
| + | \begin{bmatrix} |
− | :<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math> | + | & | & & |\\ |
− | Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''⊇ <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
− | :<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} | + | & | & & | |
− | </math> | + | \end{bmatrix}</math> |
| + | mátrixfüggvény, alkalmas, ahol persze <math>\mathbf{As}_i=\lambda_i\mathbf{s}_i</math> (i=1;2). Ugyanis |
| + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)= |
| + | \begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | \lambda_1e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & \lambda_2e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{As}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{As}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}=\mathbf{A\Psi}(t)</math> |
| + | Ilyenkor pedig a megoldás tetszőleges <math>\mathbf{c}</math> konstans általános vektorral: |
| + | :<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix} |
| + | & | & & |\\ |
| + | e^{\lambda_1 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_1 & e^{\lambda_2 t}\cdot\!\!\!\!\! & \mathbf{s}_2\\ |
| + | & | & & | |
| + | \end{bmatrix}\cdot \mathbf{c}=\begin{bmatrix}c_1e^{\lambda_1 t}s_{11}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{21}\\c_1e^{\lambda_1 t}s_{12}+c_2e^{\lambda_2 t}s_{22}\end{bmatrix}</math> |
| + | Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy |
| + | :<math>\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)</math> |
| + | Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe kapjuk, hogy |
| + | :<math>(\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t))^\cdot=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | :<math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | De mivel tudjuk, hogy <math>\dot{\mathbf{\Psi}}(t)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)</math>, ezért |
| + | :<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{A\Psi}(t)\cdot \mathbf{c}(t)+\mathbf{b}(t)</math> |
| + | Ezért kiejtve, amit ki lehet, csak az |
| + | :<math>\mathbf{\Psi}(t)\cdot \dot{\mathbf{c}}(t)=\mathbf{b}(t)</math> |
| + | paraméteres egyenletrendszert kell megoldani <math>\dot{\mathbf{c}}(t)</math>-re. |
| | | |
− | ===Folytonosság=== | + | ===Példák=== |
| | | |
− | Azt mondjuk, hogy az ''A'' ⊆ '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' ∈ '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> ⊇ ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| + | '''4.''' |
| + | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1 & 3x_2\\ 3x_1 & 2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e^t\\0\end{pmatrix}</math> |
| | | |
− | A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
| + | '''Mo.''' |
− | | + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t</math> |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk: | + | :<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math> |
− | :<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math> | + | Homogén: |
− | ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> ∈ Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
| + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> |
− | # ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
| + | :<math>\dot{x_2}=3x_1+2x_2</math> |
− | # ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
| + | :<math>\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}</math> karakterisztikus polinomjának megoldásai: <math>\lambda=-1; 5 |
− | | + | </math> |
− | | + | Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen |
− | A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
| + | :<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}</math> |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
| + | |
− | : <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math> | + | |
− | A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
| + | |
− | # <math>z\mapsto w + z\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
| + | |
− | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''Megoldás.''
| + | |
− | | + | |
− | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
| + | |
− | | + | |
− | Végül a reciprok:
| + | |
− | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
| + | |
− | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
| + | |
− | :<math>\begin{pmatrix} | + | |
− | x \\
| + | |
− | y
| + | |
− | \end{pmatrix}\mapsto
| + | |
− | \begin{pmatrix}
| + | |
− | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\
| + | |
− | \cfrac{-y}{x^2+y^2}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math> | + | |
− | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| + | |
− | | + | |
− | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
| + | |
− | :<math>f(z)=\left\{ | + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
| + | |
− | \end{matrix}
| + | |
− | \right.</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''Megoldás.''
| + | |
− |
| + | |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix} | + | |
− | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
| + | |
− | \cfrac{x^4}{x^2+y^2}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math> | + | |
− | | + | |
− | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
| + | |
− | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
| + | |
| és | | és |
− | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math> | + | :<math>x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}</math> |
− | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
| + | Inhomogén: |
− | | + | :<math>\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}</math> |
− | | + | Gauss--Jordan-nal: |
− | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
| + | :<math>\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}</math> |
− | | + | :<math> c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}</math> |
− | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
| + | :<math> x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math> |
− | # ''f'' + ''g''
| + | :<math>x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}</math> |
− | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
| + | |
− | # <math>\overline{f}</math>
| + | |
− | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g''
| + | |
− | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
| + | |
− | | + | |
− | ==Komplex számkör unicitása==
| + | |
− | '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
| + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
| + | |
− | a vektortérműveletek pedig:
| + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''R''') | + | |
− | :<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''')
| + | |
− | | + | |
− | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
| + | |
− | | + | |
− | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
| + | |
− | :<math>\begin{pmatrix} | + | |
− | a & -b\\
| + | |
− | b & a
| + | |
− | \end{pmatrix}</math>
| + | |
− | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
| + | |
− |
| + | |
− | ==Komplex sorozatok==
| + | |
− | Minthogy '''C''' ≡ '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint '''R'''<sup>2</sup>-ben:
| + | |
− | :<math>
| + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | (z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | \Updownarrow\mathrm{def}\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | \exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
| + | |
− | \end{matrix}</math> | + | |
− | Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
| + | |
− | | + | |
− | A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
| + | |
− | :(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
| + | |
− | :(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
| + | |
− | | + | |
− | Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
| + | |
− | | + | |
− | Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''ζ''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
| + | |
− | :<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
| + | |
− | függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
| + | |
− | Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
| + | |
− | ===Nullsorozatok===
| + | |
− | | + | |
− | A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
| + | |
− | | + | |
− | '''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
| + | |
− | # ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''majoráns:'' ha (δ<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < δ<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''1. Feladat'''
| + | |
− | :<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
| + | |
− |
| + | |
− | :<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
| + | |
− | | + | |
− | '''2. Feladat.'''
| + | |
− | :<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math> | + | |
− | ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
| + | |
− | ugyanis
| + | |
− | : <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math> | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''3. Feladat.'''
| + | |
− | :<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
| + | |
− | :: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
| + | |
− | Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
| + | |
− | | + | |
− | ==Komplex sorok==
| + | |
− | | + | |
− | Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
| + | |
− | : <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
| + | |
− | részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és ∑(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a
| + | |
− | :<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
| + | |
− | szimbólummal jelöljük.
| + | |
− | | + | |
− | ===Komponensek===
| + | |
− | | + | |
− | Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
| + | |
− | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\, </math>
| + | |
− | esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
| + | |
− | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\, </math>
| + | |
− | ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
| + | |
− | | + | |
− | ===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
| + | |
− | | + | |
− | Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
| + | |
− | | + | |
− | Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
| + | |
− | | + | |
− | ===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
| + | |
− | | + | |
− | Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
| + | |
− | # '''Szükséges kritérium:''' Ha ∑(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
| + | |
− | # '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
| + | |
− | #:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
| + | |
− | # '''Összehasonlító kritérium:''' ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
| + | |
− | # '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1 valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
| + | |
− | #: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
| + | |
− | # '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
| + | |
− | # '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''4.'''
| + | |
− | Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
| + | |
− | :<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
| + | |
| | | |
| '''5.''' | | '''5.''' |
− | #Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
| + | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math> |
− | #Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
| + | |
− | #Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
| + | |
− | azaz 0-hoz tart-
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''6.'''
| + | |
− | #Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
| + | |
− | #Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
| + | |
− | #Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
| + | |
− | Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
| + | |
− | | + | |
− | ==Komplex hatványsorok==
| + | |
− | | + | |
− | '''Definíció''' – ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C'''. Ekkor az ∑(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
| + | |
− | :<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
| + | |
− | hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' ∈ | ∑(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
| + | |
− | | + | |
− | A továbbiakban csak a ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
| + | |
− | :<math>R=\left\{
| + | |
− | \begin{matrix} | + | |
− | 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
| + | |
− | +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
| + | |
− | \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
| + | |
− | \end{matrix} | + | |
− | | + | |
− | \right.</math>
| + | |
− | akkor ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a B<sub>1/R</sub>(∞) gömbön.
| + | |
− | | + | |
− | A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
| + | |
− | akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math>
| + | |
− | ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
| + | |
− | #<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math>
| + | |
− | #<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math>
| + | |
− | #<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' ∈ B<sub>δ</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és
| + | |
− | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>
| + | |
− | Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>).
| + | |
− | | + | |
− | '''8. Feladat'''
| + | |
− | # Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
| + | |
− | # Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
| + | |
− | #:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math>
| + | |
− | | + | |
− | ===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
| + | |
| | | |
− | Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' ∈ Reg(''z''<sub>0</sub>).
| |
| | | |
− | ''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és Δ''z'' olyan, hogy még ''z'' + Δ''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
| |
− | : <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
| |
− | \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
| |
− | mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
| |
− | :<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
| |
− | vagy ha tetszik nemnulla Δ''z''-vel:
| |
− | :<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
| |
− | a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
| |
− | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
| |
− | ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + Δ''z'' | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
| |
− | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
| |
− | Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δ''z''-re, melyre | ''z'' + Δ''z'' | < r, teljesül és |Δ''z''| <ε/(1+∑<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:δ
| |
− | :<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
| |
| | | |
− | Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
| + | <center> |
− | :<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | </center> |
| | | |
| | | |
| [[Kategória:Matematika A3]] | | [[Kategória:Matematika A3]] |
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
alakban keresendő.
alakban keresendő.
alakban keresendő.
A homogén egyenlet megoldását az úgy nevezett mátrix alapmegoldásból állítjuk elő. Keresünk tehát olyan mátrixfüggvényt, melyre:
Az inhomohén egy partikuláris megoldását a következőképpen keressük meg. Feltesszük az állandó variálása módszerével, hogy
Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen