Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet)
(Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet)
4. sor: 4. sor:
 
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:  
 
Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:  
 
:<math>ay''+by'+cy=f(x)\,</math>
 
:<math>ay''+by'+cy=f(x)\,</math>
ha ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''. Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó &lambda; gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
+
ha ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''.  
 +
 
 +
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó &lambda; gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
  
 
:<math>y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>, ha <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math>  
 
:<math>y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>, ha <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math>  
:<math>y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}</math>, ha <math>\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> (gyök vagy belső rezonancia esete)
+
:<math>y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>, ha <math>\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> (gyök vagy belső rezonancia esete)
:<math>y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>, ha <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,</math>  
+
:<math>y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>, ha <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,</math>
 +
 
 +
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
 +
:<math>f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' &isin; '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''&lambda;<sup>2</sup>+''b''&lambda;+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
 +
:<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math>
 +
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
 +
 
 +
===Példák===
  
  

A lap 2016. március 4., 21:55-kori változata

<Matematika A3a 2008

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

ay''+by'+cy=f(x)\,

ha a, b, cR.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}, ha \lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,
y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,, ha \lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\, (gyök vagy belső rezonancia esete)
y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,, ha \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ibC szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Példák

3. gyakorlat
5. gyakorlat
Személyes eszközök