Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Általános módszer) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzisztencia és unicitás) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J'' <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' ⊆ ''I'' megoldása az | Legyen ''f'' : ''I'' <math>\to</math> '''R''', ''g'': ''J'' <math>\to</math> '''R''' intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol ''g'' sehol sem nulla. Ekkor az y: ''K'' <math>\to</math> '''J''' differenciálható függvény, ahol ''K'' ⊆ ''I'' megoldása az | ||
:<math>y'=f(x)g(y)\,</math> | :<math>y'=f(x)g(y)\,</math> | ||
− | + | ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden ''x'' ∈ ''K''-ra: | |
:<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math> | :<math>y'(x)=f(x)g(y(x))\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt | ||
+ | :<math>\int\frac{y'}{g(y)}\,dy=G(y)=\int f(x)\,dx=F(x)+C</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>G\circ y= F+C\,</math> | ||
+ | ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é. | ||
+ | |||
+ | Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának. | ||
+ | |||
+ | Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális: | ||
+ | :<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y<sub>0<\sub>)-F(x<sub>0<\sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x<sub>0<\sub> körül. Ilyen (x<sub>0<\sub>, y<sub>0</sub>) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) | ||
+ | |||
+ | Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet. | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat.''' Oldjuk meg az <math>y'=ay\,</math> egyenletet. | ||
+ | |||
+ | === Függvényegyenletek=== | ||
+ | |||
+ | '''3. Feladat.''' Van-e nemdifferenciálható megoldása az y^2=x^2\, függvényegynletnek? | ||
+ | |||
+ | '''4. Feladat.''' Hány megoldása van az |f(x)|=e<sup>x</sup> '''R'''-en? Hány diffható ebből? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==kljklj== | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. október 9., 14:43-kori változata
Tartalomjegyzék |
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?
Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
ott nem lenne értelmezve.
A mechanikus megoldási eljárás a következő:
ez az implicit általános megoldás és
az explicit általános megoldás.
A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.
Egzisztencia és unicitás
Legyen f : I R, g: J R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K J differenciálható függvény, ahol K ⊆ I megoldása az
ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden x ∈ K-ra:
Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt
azaz
ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.
Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:
Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x0<\sub>, y0) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y0<\sub>)-F(x0<\sub>)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x0<\sub> körül. Ilyen (x0<\sub>, y0) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.)
Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
2. Feladat. Oldjuk meg az egyenletet.
Függvényegyenletek
3. Feladat. Van-e nemdifferenciálható megoldása az y^2=x^2\, függvényegynletnek?
4. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=ex R-en? Hány diffható ebből?
kljklj