Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Komplex számkör és reprezentációi== | ||
+ | A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben. | ||
+ | |||
+ | ===Algebrai modell=== | ||
+ | A komplex számok olyan | ||
+ | :<math>a+b\mathrm{i}\,</math> | ||
+ | alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy | ||
+ | :<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math> | ||
+ | A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát | ||
+ | :<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math> | ||
+ | itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') ∈ '''R''', azaz "tiszta" valós. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a | ||
+ | :<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math> | ||
+ | alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor | ||
+ | :<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math> | ||
+ | azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll | ||
+ | :<math>m(x)=a+bx\,</math> | ||
+ | alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a | ||
+ | :<math>m(x)^2+1=0\,</math> | ||
+ | polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor | ||
+ | :<math>m(x)^2=-1\,</math> | ||
+ | azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk. | ||
+ | |||
+ | Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát: | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok | ||
+ | :(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a | ||
+ | :λ(''a''+''b''i) = λ''a'' + λ''b''i, a λ valós számmal való szorzással | ||
+ | kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével. | ||
+ | |||
+ | ===Halmazelméleti modell=== | ||
+ | Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük). | ||
+ | |||
+ | A számpár reprezentációban: | ||
+ | :<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math> | ||
+ | az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a | ||
+ | :<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math> | ||
+ | művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe. | ||
+ | |||
+ | Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját. | ||
+ | |||
+ | ===Geometriai modell=== | ||
+ | |||
+ | A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon: | ||
+ | :<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\; | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | r\cos\varphi & -r\sin\varphi\\ | ||
+ | r\sin\varphi & r\cos\varphi | ||
+ | \end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math> | ||
+ | Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza: | ||
+ | :<math>\left\{\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & \;\;a | ||
+ | \end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math> | ||
+ | Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében. | ||
+ | |||
+ | =='''C''' topológiája== | ||
+ | |||
+ | '''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra: | ||
+ | :<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math> | ||
+ | az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza: | ||
+ | :<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math> | ||
+ | Egy ''A'' ⊆ '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban | ||
+ | :<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math> | ||
+ | Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''⊇ <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill. | ||
+ | :<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ===Folytonosság=== | ||
+ | |||
+ | Azt mondjuk, hogy az ''A'' ⊆ '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' ∈ '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> ⊇ ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. | ||
+ | |||
+ | A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll: | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk: | ||
+ | :<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math> | ||
+ | ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> ∈ Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek: | ||
+ | # ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban | ||
+ | # ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték. | ||
+ | : <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math> | ||
+ | A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak! | ||
+ | # <math>z\mapsto w + z\,</math> | ||
+ | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math> | ||
+ | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math> | ||
+ | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos. | ||
+ | |||
+ | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos. | ||
+ | |||
+ | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris. | ||
+ | |||
+ | Végül a reciprok: | ||
+ | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> | ||
+ | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | x \\ | ||
+ | y | ||
+ | \end{pmatrix}\mapsto | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ | ||
+ | \cfrac{-y}{x^2+y^2} | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az | ||
+ | :<math>f(z)=\left\{ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \right.</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor: | ||
+ | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ | ||
+ | \cfrac{x^4}{x^2+y^2} | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként: | ||
+ | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math> | ||
+ | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot. | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor | ||
+ | # ''f'' + ''g'' | ||
+ | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g'' | ||
+ | # <math>\overline{f}</math> | ||
+ | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g'' | ||
+ | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán). | ||
+ | |||
+ | ==Komplex számkör unicitása== | ||
+ | '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel: | ||
+ | :<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math> | ||
+ | a vektortérműveletek pedig: | ||
+ | :<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''R''') | ||
+ | :<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''') | ||
+ | |||
+ | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus). | ||
+ | |||
+ | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Kategória:Matematika A3]] | ||
+ | |||
==Szeparábilis differenciálegyenlet== | ==Szeparábilis differenciálegyenlet== |
A lap 2013. szeptember 8., 08:48-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számkör és reprezentációi
A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
Algebrai modell
A komplex számok olyan
alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük, tehát
itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.
Megjegyzés. A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
alakú kifejezésekkel, ahol az ai-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x2+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az m(x)=x polinom az, mely az i egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i2=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
Állítás. A C számkör a komplex számok
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a
- λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.
Halmazelméleti modell
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X2) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
A számpár reprezentációban:
az összeadás az R2-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R2 topológiáját.
Geometriai modell
A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R2 síkon:
Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
C topológiája
R2 gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R2-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z0 ∈ C számra:
az r sugarú z0 középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||2 euklideszi norma, elvileg R2 bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
Egy A ⊆ C halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban
Mivel R2-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és R2-R2 függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha f: C⊇ C függvény, akkor z = x + iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ill.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R2 ⊇ A R2 függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:
ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z0 = x0 + iy0 ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:
- f folytonos a z0-ban
- u és v függvények folytonosak az (x0,y0)-ban
A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a z = x + iy pontban a limx u + i limy v szám adja. Ekkor
Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R2-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
Megoldás.
Az 1. az R2-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
3. azaz a konjugálás: (x,y) (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
Végül a reciprok:
így, mint R2 ⊃ R2 függvény:
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
- f + g
- f g
- g(z0) ≠ 0 esetén f/g
is folytonos z0-ban.
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
Komplex számkör unicitása
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?
Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
ott nem lenne értelmezve.
A mechanikus megoldási eljárás a következő:
ez az implicit általános megoldás és
az explicit általános megoldás.
A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.
Egzisztencia és unicitás
Legyen f : I R, g: J R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K J differenciálható függvény, ahol K ⊆ I megoldása az
ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden x ∈ K-ra:
Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt
azaz
ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.
Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:
Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x0, y0) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y0)-F(x0)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x0 körül. Ilyen (x0, y0) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) Ez a kezdetiérték probléma szeparábilis esetben.
Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
2. Feladat. Oldjuk meg az egyenletet.
3. Feladat.
Függvényegyenletek
4. Feladat. Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az függvényegyenletnek?
5. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=ex R-en? Hány diffható ebből?
Homogén fokszámú egyenletek
Az F(x,y) n-homogén függvény, ha minden λ esetén
- F(λx,λy) = λnF(x,y).
Az y'=F(x,y) egyenlet homogén, ha F(x,y) 0-homogén.
Homogén egyenleteknél az y=ux helyettesítés vezet célra. Akkor
- y'=u'x+u
Feladat. (2x+y)dx + (y+x)dy =0 Homogén, mert
jobb oldala 0-homogén: