Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
72. sor: | 72. sor: | ||
:<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} | :<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Differenciálhatóság== | ||
+ | ==='''R'''-differenciálhatóság=== | ||
+ | Legyen ''f'' : '''C''' ⊃<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az | ||
+ | :<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math> | ||
+ | vektorértékű kétváltozós függvénnyel az | ||
+ | :<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math> | ||
+ | szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része). | ||
+ | |||
+ | ''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>∈IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre | ||
+ | :<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math> | ||
+ | ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben. | ||
+ | |||
+ | Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy | ||
+ | :<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math> | ||
+ | És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix. | ||
+ | ====Példák==== | ||
+ | '''1.''' Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen | ||
+ | :<math>f(z)=w\cdot z</math> | ||
+ | Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része): | ||
+ | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix} | ||
+ | w_1x-w_2y\\ | ||
+ | w_1y+w_2x | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | És a derivált: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix} | ||
+ | w_1 & -w_2\\ | ||
+ | w_2 & w_1 | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja: | ||
+ | :<math>[z]=\begin{bmatrix} | ||
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math> | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | |||
+ | ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'') | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2x & -2y\\ | ||
+ | 2y & 2x | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját! | ||
+ | |||
+ | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 | ||
+ | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math> | ||
+ | azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math> | ||
+ | csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix. | ||
+ | |||
+ | =='''C'''-differenciálhatóság== | ||
+ | A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől | ||
+ | :<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math> | ||
+ | :<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math> | ||
+ | mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a | ||
+ | :<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math> | ||
+ | mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését. | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | |||
+ | Jelölése: <math>f'(z_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy | ||
+ | :<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | Pontbeli deriváltra példa a következő. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény? | ||
+ | :<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ | ||
+ | 0, & z=0 | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | ''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados: | ||
+ | :<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0. | ||
+ | Ha ''n'' = 0, akkor | ||
+ | :<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math> | ||
+ | aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont). | ||
+ | |||
+ | Ha ''n'' < 0, akkor | ||
+ | :<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math> | ||
+ | ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart. | ||
+ | |||
+ | Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: | ||
+ | :1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math> | ||
+ | :2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>. | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény és ''w' komplex szám. | ||
+ | Tekintsük a következő határértéket: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math> | ||
+ | Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math> | ||
+ | Azaz | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math> | ||
+ | Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math> | ||
+ | Ami viszont ugyanakkor igaz mint: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w]. | ||
+ | |||
+ | Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható. | ||
+ | |||
+ | '''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] ∈ '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor | ||
+ | :<math>\begin{cases} | ||
+ | \partial_xu=\partial_yv\\ | ||
+ | \partial_yu=-\partial_x v | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja: | ||
+ | :<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math> | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f? | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f? | ||
+ | |||
+ | |||
===Folytonosság=== | ===Folytonosság=== |
A lap 2013. szeptember 28., 14:30-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számkör és reprezentációi
A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
Algebrai modell
A komplex számok olyan
alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük, tehát
itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.
Megjegyzés. A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
alakú kifejezésekkel, ahol az ai-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x2+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az m(x)=x polinom az, mely az i egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i2=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
Állítás. A C számkör a komplex számok
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a
- λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.
Halmazelméleti modell
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X2) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
A számpár reprezentációban:
az összeadás az R2-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R2 topológiáját.
Geometriai modell
A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R2 síkon:
Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
C topológiája
R2 gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R2-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z0 ∈ C számra:
az r sugarú z0 középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||2 euklideszi norma, elvileg R2 bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
Egy A ⊆ C halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban
Mivel R2-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és R2-R2 függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha f: C⊇ C függvény, akkor z = x + iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ill.
Differenciálhatóság
R-differenciálhatóság
Legyen f : C ⊃ C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
szerint (itt u és v kétváltozós valós függvények, rendre az f valós és képzetes része).
f abban az értelemen R-differenciálható, ahogy az (u,v):R2 R2 függvény differenciálható, azaz
Definíció -- Valós deriválhatóság -- Legyen g:R2 R2, x0∈IntDom(g). Ekkor a g differenciálható az x0 pontban, ha létezik olyan A: R2 R2 lineáris leképezés, melyre
ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||2=|.| komplex abszolútérték) R2-ben.
Ekkor a fenti A lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: dg(x0). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az x0-ban, még úgy is jelöljük, hogy
- .
A df(x0,y0) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
És persze, ha f differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
Példák
1. Legyen w ∈ C tetszőlegesen rögzített és legyen
Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
És a derivált:
Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a w komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy z = a +' 'bi komplex szám mátrixreprezentációja:
a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
2.
f(z) = z2
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
3. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
C-differenciálhatóság
A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha
Jelölése: f'(z0).
Azt, hogy az f a z0-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
- .
Pontbeli deriváltra példa a következő.
Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:
- ha z 0.
Ha n = 0, akkor
aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
Ha n < 0, akkor
ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.
Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
- 1)
- 2) és .
Bizonyítás. Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény és w' komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:
Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:
Azaz
Itt (z-z0)/|z-z0| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z0)]=[w].
Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.
Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor
Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
Feladat. Legyen f(x + iy) = x2 + iy3. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R2 ⊇ A R2 függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:
ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z0 = x0 + iy0 ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:
- f folytonos a z0-ban
- u és v függvények folytonosak az (x0,y0)-ban
A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a z = x + iy pontban a limx u + i limy v szám adja. Ekkor
Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R2-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
Megoldás.
Az 1. az R2-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
3. azaz a konjugálás: (x,y) (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
Végül a reciprok:
így, mint R2 ⊃ R2 függvény:
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
- f + g
- f g
- g(z0) ≠ 0 esetén f/g
is folytonos z0-ban.
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
Komplex számkör unicitása
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Komplex sorozatok
Minthogy C ≡ R2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:
Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
- (an) konvergens és
- (bn) konvergens.
Ekkor lim(zn) = lim(an) + ilim(bn)
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy
függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
Nullsorozatok
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- abszolútérték: zn 0 akkor és csak akkor, ha |zn| 0
- eltolás: zn z akkor és csak akkor, ha (zn – z) 0
- "K 0": ha (wn) korlátos és zn 0, akkor (wn zn) 0
- majoráns: ha (δn) 0 valós és |zn| < δn, akkor zn 0
- hányadoskritérium: ha , akkor zn 0
- gyökkritérium: ha , akkor zn 0
Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
1. Feladat
(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)
2. Feladat.
ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)
ugyanis
3. Feladat.
(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
Komplex sorok
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat
részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a
szimbólummal jelöljük.
Komponensek
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
Kritériumok az abszolút konvergenciára
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- Szükséges kritérium: Ha ∑(zn) konvergens, akkor (zn) nulsorozat.
- Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor konvergens és az összege:
- Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
- p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a valós sor konvergens.
- Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a valós sor divergens.
- Hányadoskritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
- Gyökkritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
4.
Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
5.
- Konvergens-e és mi a határértéke:
- Konvergens-e
- Milyen z-re konvergens:
(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)
azaz 0-hoz tart-
6.
- Konvergens-e és mi a határértéke:
- Konvergens-e
- Milyen z-re konvergens:
(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
Komplex hatványsorok
Definíció – Hatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
7. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z0 pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(an(z-z0)n) hatványsor, hogy minden z ∈ Bδ(z0)-ra f érelmezett, ∑(an(z-z0)n) konvergens és
Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ Cω(z0).
8. Feladat
- Van-e olyan hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
- Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ Cω(z0) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z0).
Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑n|an|nrn)=:δ
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát: