Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenletek) |
||
68. sor: | 68. sor: | ||
jobb oldala 0-homogén: | jobb oldala 0-homogén: | ||
:<math>-\frac{2x+y}{x+y}=-\frac{2\lambda x+\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=-\frac{2x+y}{x+y}</math> | :<math>-\frac{2x+y}{x+y}=-\frac{2\lambda x+\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=-\frac{2x+y}{x+y}</math> | ||
+ | :<math>u'x+u=-\frac{2+u}{1+u}</math> | ||
+ | :<math>u'x=-\frac{2+2u+u^2}{1+u}</math> | ||
+ | :<math>\frac{1+u}{2+2u+u^2}u'=-\frac{1}{x}</math> | ||
===Egzakt differenciálegynlet=== | ===Egzakt differenciálegynlet=== |
A lap 2012. szeptember 24., 13:46-kori változata
Tartalomjegyzék |
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?
Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
ott nem lenne értelmezve.
A mechanikus megoldási eljárás a következő:
ez az implicit általános megoldás és
az explicit általános megoldás.
A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.
Egzisztencia és unicitás
Legyen f : I R, g: J R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K J differenciálható függvény, ahol K ⊆ I megoldása az
ún. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden x ∈ K-ra:
Ekkor a helyettesítéses integrálás szabálya miatt
azaz
ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
Ennek a függvlnyegyenletnek a differenciálható megoldásai megoldások és ezt nevezzük a diffegyenlet implicit alakban adott általános megoldásának.
Ha G injektív, akkor az explicit általános megoldás globális:
Ha G nem injektív, de van, ahol a deriváltja nem nulla (tehát 1/g nem konstans, azaz g nem konstans, azaz a feladat nem intézhető el primitív függvény kereséssel), és (x0, y0) olyan, hogy f(x,y)=G(y)-F(x)-C és G(y0)-F(x0)-C=0, akkor az inverzfüggvénytétel értelmében van lokális megoldása x0 körül. Ilyen (x0, y0) a C alkalmas beállításával mindig alálható. (Ezt elhisszük.) Ez a kezdetiérték probléma szeparábilis esetben.
Vannak olyan esetek amikor g felveszi a 0-t. Ekkor a fenti sematikus megoldáson kívül egyéb meoldás is felléphet.
2. Feladat. Oldjuk meg az egyenletet.
3. Feladat.
Függvényegyenletek
4. Feladat. Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az függvényegyenletnek?
5. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=ex R-en? Hány diffható ebből?
Homogén fokszámú egyenletek
Az F(x,y) n-homogén függvény, ha minden λ esetén
- F(λx,λy) = λnF(x,y).
Az y'=F(x,y) egyenlet homogén, ha F(x,y) 0-homogén.
Homogén egyenleteknél az y=ux helyettesítés vezet célra. Akkor
- y'=u'x+u
Feladat. (2x+y)dx + (y+x)dy =0 Homogén, mert
jobb oldala 0-homogén: