Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(A lap tartalmának cseréje erre: ''<sub><Matematika A3a 2008</sub>'' Kategória:Matematika A3)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==Komplex sorozatok==
 +
Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
 +
:<math>
 +
\begin{matrix}
 +
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
 +
\\
 +
\Updownarrow\mathrm{def}\\
 +
\\
 +
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
 +
\end{matrix}</math>
 +
Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
 +
 +
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
 +
 +
'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
 +
:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
 +
:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
 +
 +
Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
 +
 +
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
 +
:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
 +
függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
 +
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
 +
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
 +
===Nullsorozatok===
 +
 +
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
 +
 +
'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
 +
# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
 +
# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
 +
# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
 +
# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
 +
 +
Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
 +
 +
 +
'''1. Feladat'''
 +
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
 +
 +
''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
 +
 +
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
 +
 +
'''2. Feladat.'''
 +
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math>
 +
ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
 +
 +
''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
 +
 +
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
 +
ugyanis
 +
: <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
 +
 +
 +
'''3. Feladat.'''
 +
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
 +
 +
''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
 +
 +
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
 +
:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
 +
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
 +
 +
==Komplex sorok==
 +
 +
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
 +
: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
 +
részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a 
 +
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
 +
szimbólummal jelöljük.
 +
 +
===Komponensek===
 +
 +
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
 +
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,  </math>
 +
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
 +
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,  </math> 
 +
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
 +
 +
===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
 +
 +
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
 +
 +
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
 +
 +
===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
 +
 +
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
 +
 +
'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
 +
# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
 +
# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
 +
#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
 +
# '''Összehasonlító kritérium:'''  ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és  ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
 +
# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
 +
#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
 +
# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
 +
# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
 +
 +
 +
'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
 +
 +
 +
'''4.'''
 +
Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
 +
:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
 +
 +
'''5.'''
 +
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
 +
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
 +
#Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
 +
 +
''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
 +
 +
:<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
 +
azaz 0-hoz tart-
 +
 +
 +
'''6.'''
 +
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
 +
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
 +
#Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
 +
 +
''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
 +
 +
:<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
 +
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
 +
 +
==Komplex hatványsorok==
 +
 +
'''Definíció''' – ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C'''. Ekkor az  &sum;(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
 +
:<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
 +
hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' &isin; | &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
 +
 +
A továbbiakban csak a  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
 +
 +
'''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
 +
:<math>R=\left\{
 +
\begin{matrix}
 +
0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
 +
+\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
 +
\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
 +
\end{matrix}
 +
 +
\right.</math>
 +
akkor  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a  B<sub>1/R</sub>(&infin;) gömbön.
 +
 +
A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy 
 +
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
 +
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is: 
 +
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math>
 +
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
 +
 +
 +
'''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
 +
#<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math>
 +
#<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math>
 +
#<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math>
 +
 +
 +
'''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan &delta; sugarú környezet és &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' &isin; B<sub>&delta;</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és
 +
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>
 +
Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>).
 +
 +
'''8. Feladat'''
 +
# Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
 +
# Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
 +
#:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math>
 +
 +
===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
 +
 +
'''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
 +
 +
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' &isin; Reg(''z''<sub>0</sub>).
 +
 +
''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és &Delta;''z'' olyan, hogy még ''z'' + &Delta;''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
 +
: <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
 +
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
 +
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
 +
:<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
 +
vagy ha tetszik nemnulla &Delta;''z''-vel:
 +
:<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
 +
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
 +
:<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
 +
ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + &Delta;''z'' | < r < R (ez  utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
 +
:<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
 +
Így azt kaptuk, hogy minden olyan  &Delta;''z''-re, melyre | ''z'' + &Delta;''z'' | < r, teljesül és |&Delta;''z''| <&epsilon;/(1+&sum;<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:&delta;
 +
:<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
 +
 +
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
 +
:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
 +
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2013. szeptember 15., 10:24-kori változata

<Matematika A3a 2008



Tartalomjegyzék

Komplex sorozatok

Minthogy CR2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:


\begin{matrix}
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
\\
\Updownarrow\mathrm{def}\\
\\
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
\end{matrix}

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(an) konvergens és
(bn) konvergens.

Ekkor lim(zn) = lim(an) + i\cdotlim(bn)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy

\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. abszolútérték: zn \to 0 akkor és csak akkor, ha |zn| \to 0
  2. eltolás: zn \to z akkor és csak akkor, ha (znz) \to 0
  3. "K  \cdot 0": ha (wn) korlátos és zn \to 0, akkor (wn \cdot zn) \to 0
  4. majoráns: ha (δn) \to 0 valós és |zn| < δn, akkor zn \to 0
  5. hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor zn \to 0
  6. gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor zn \to 0


Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K  \cdot 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.


1. Feladat

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}

2. Feladat.

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i

ugyanis

1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1


3. Feladat.

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to
\to \cos1+i\sin 1\,

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.

Komplex sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat

s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k

részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. Szükséges kritérium: Ha ∑(zn) konvergens, akkor (zn) nulsorozat.
  2. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor \sum\limits_{(0)} (z^n) konvergens és az összege:
    \sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}
  3. Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
  4. p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor konvergens.
    Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor divergens.
  5. Hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
  6. Gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.


Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.


4. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)

5.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{n!}{n^n}i^n
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)
  3. Milyen z-re konvergens: \sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)

(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1

azaz 0-hoz tart-


6.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)
  3. Milyen z-re konvergens:\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)

(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)

\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.

Komplex hatványsorok

DefinícióHatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n

hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).

A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

TételCauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|} és

R=\left\{
\begin{matrix}
0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
+\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
\end{matrix}

\right.

akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.

A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.


7. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?

  1. \sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)
  2. \sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)
  3. \sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)


Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z0 pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(an(z-z0)n) hatványsor, hogy minden z ∈ Bδ(z0)-ra f érelmezett, ∑(an(z-z0)n) konvergens és

f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ Cω(z0).

8. Feladat

  1. Van-e olyan \sum\limits_{(0)}(a_n(z-2)) hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
  2. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
    f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ Cω(z0) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z0).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑n|an|nrn)=:δ

\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}
Személyes eszközök