Matematika A3a 2008/4. gyakorlat
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegynletet. Van-e olyan, mely a 0-ban 0-t vesz föl, illetve a 0-ban 1-et?
Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
ott nem lenne értelmezve.
A mechanikus megoldási eljárás a következő:
ez az implicit általános megoldás és
az explicit általános megoldás.
A megoldás mechanikus megkeresése után meg kell jegyeznünk, hogy csak olyan intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y nem ad nullát. Ezeken belül vannak olyan esetek, melyek nem is differenciálhatók a 7. gyök miatt.
(0,1)-en áthaladó megoldás a C = 8/7-es görbe.
Általános módszer
Legyen f : I R, g: J R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Ekkor az y: K J differenciálható függvény, ahol K ⊆ I megoldása az
un. szeparábilis diffegyenletnek, ha minden x ∈ K-ra: