Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Csak a másodrendű esetet tárgyaljuk:

$ay''+by'+cy=f(x)\,$

ha a, b, c ∈ R.

Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ²+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).

$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$, ha $\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,$

$y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,$, ha $\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,$ (gyök vagy belső rezonancia esete)

$y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,$, ha $\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,$

Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható

$f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)$

ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ²+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az y_p(x) partikuláris megoldásra a feltevés:

$y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)$

ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.

Példák

3. gyakorlat

5. gyakorlat