Matematika A3a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 28., 14:27-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Komplex számkör és reprezentációi

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell

A komplex számok olyan

a+b\mathrm{i}\,

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

\mathrm{i}^2=-1\,

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük, tehát

z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})

itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.

Megjegyzés. A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a

a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,

alakú kifejezésekkel, ahol az ai-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor

\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)

azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll

m(x)=a+bx\,

alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x2+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a

m(x)^2+1=0\,

polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor

m(x)^2=-1\,

azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az m(x)=x polinom az, mely az i egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.


Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i2=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a
λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással

kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.

Halmazelméleti modell

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X2) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,

az összeadás az R2-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R2 topológiáját.

Geometriai modell

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R2 síkon:

\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
\begin{pmatrix}
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

\left\{\begin{pmatrix}
a  & -b\\
b  & \;\;a
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

C topológiája

R2 gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R2-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z0C számra:

\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}

az r sugarú z0 középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||2 euklideszi norma, elvileg R2 bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega

Egy AC halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}

Mivel R2-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és R2-R2 függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha f: C\rightarrowC függvény, akkor z = x + iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ill.

f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az AC halmazon értelmezett f függvény folytonos a zA pontban, ha z-ben f folytonos mint R2A \to R2 függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z0 = x0 + iy0 ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

  1. f folytonos a z0-ban
  2. u és v függvények folytonosak az (x0,y0)-ban


A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a z = x + iy pontban a limx u + i limy v szám adja. Ekkor


Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.

\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)

A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R2-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.


Feladat. Legyen wC. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

  1. z\mapsto w + z\,
  2. z\mapsto w\cdot z\,
  3. z\mapsto \overline{z}\,
  4. z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)

Megoldás.

Az 1. az R2-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) \mapsto (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}

így, mint R2\to R2 függvény:

\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\mapsto 
\begin{pmatrix}
\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
\cfrac{-y}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

f(z)=\left\{
\begin{matrix}
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
\\
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
\end{matrix}
\right.

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix}
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|

és

\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2

így (x,y)\to(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.


Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

  1. f + g
  2. f \cdot g
  3. \overline{f}
  4. g(z0) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z0-ban.


Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Komplex számkör unicitása

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:

\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2

a vektortérműveletek pedig:

\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2 vektorösszeadás (a, b, c, dR)
\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2 valós számmal való szorzás (λ, a, bR)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

\begin{pmatrix} 
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

Komplex sorozatok

Minthogy CR2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:


\begin{matrix}
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
\\
\Updownarrow\mathrm{def}\\
\\
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
\end{matrix}

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(an) konvergens és
(bn) konvergens.

Ekkor lim(zn) = lim(an) + i\cdotlim(bn)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy

\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. abszolútérték: zn \to 0 akkor és csak akkor, ha |zn| \to 0
  2. eltolás: zn \to z akkor és csak akkor, ha (znz) \to 0
  3. "K  \cdot 0": ha (wn) korlátos és zn \to 0, akkor (wn \cdot zn) \to 0
  4. majoráns: ha (δn) \to 0 valós és |zn| < δn, akkor zn \to 0
  5. hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor zn \to 0
  6. gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor zn \to 0


Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K  \cdot 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.


1. Feladat

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}

2. Feladat.

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i

ugyanis

1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1


3. Feladat.

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to
\to \cos1+i\sin 1\,

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.

Komplex sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat

s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k

részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. Szükséges kritérium: Ha ∑(zn) konvergens, akkor (zn) nulsorozat.
  2. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor \sum\limits_{(0)} (z^n) konvergens és az összege:
    \sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}
  3. Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
  4. p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor konvergens.
    Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor divergens.
  5. Hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
  6. Gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.


Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.


4. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)

5.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{n!}{n^n}i^n
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)
  3. Milyen z-re konvergens: \sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)

(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1

azaz 0-hoz tart-


6.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)
  3. Milyen z-re konvergens:\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)

(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)

\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.

Komplex hatványsorok

DefinícióHatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n

hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).

A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

TételCauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|} és

R=\left\{
\begin{matrix}
0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
+\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
\end{matrix}

\right.

akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.

A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.


7. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?

  1. \sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)
  2. \sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)
  3. \sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)


Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z0 pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(an(z-z0)n) hatványsor, hogy minden z ∈ Bδ(z0)-ra f érelmezett, ∑(an(z-z0)n) konvergens és

f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ Cω(z0).

8. Feladat

  1. Van-e olyan \sum\limits_{(0)}(a_n(z-2)) hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
  2. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
    f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ Cω(z0) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z0).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑n|an|nrn)=:δ

\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}
Személyes eszközök