|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| − | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
| |
| | | | |
| − | ==Feladat folytonosságra==
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
| |
| − | # <math>z\mapsto w + z\,</math>
| |
| − | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
| |
| − | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
| |
| − | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
| |
| − |
| |
| − | ''Megoldás.''
| |
| − |
| |
| − | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
| |
| − |
| |
| − | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
| |
| − |
| |
| − | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
| |
| − |
| |
| − | Végül a reciprok:
| |
| − | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
| |
| − | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
| |
| − | :<math>\begin{pmatrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y
| |
| − | \end{pmatrix}\mapsto
| |
| − | \begin{pmatrix}
| |
| − | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\
| |
| − | \cfrac{-y}{x^2+y^2}
| |
| − | \end{pmatrix}</math>
| |
| − | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
| |
| − | :<math>f(z)=\left\{
| |
| − | \begin{matrix}
| |
| − | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
| |
| − | \\
| |
| − | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
| |
| − | \end{matrix}
| |
| − | \right.</math>
| |
| − |
| |
| − | ''Megoldás.''
| |
| − |
| |
| − | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor:
| |
| − | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
| − | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
| |
| − | \cfrac{x^4}{x^2+y^2}
| |
| − | \end{pmatrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
| |
| − | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
| |
| − | és
| |
| − | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
| |
| − | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
| |
| − |
| |
| − | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
| |
| − | # ''f'' + ''g''
| |
| − | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
| |
| − | # <math>\overline{f}</math>
| |
| − | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g''
| |
| − | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
| |
| − | :<math>f(z)=\left\{
| |
| − | \begin{matrix}
| |
| − | \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
| |
| − | \\
| |
| − | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
| |
| − | \end{matrix}
| |
| − | \right.</math>
| |
| − |
| |
| − | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,1), akkor:
| |
| − | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
| − | \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
| |
| − | \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
| |
| − | \end{pmatrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
| |
| − |
| |
| − | A második tényező szintén nem.
| |
| − |
| |
| − | ==Feladatok határértékre==
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy
| |
| − | #<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
| |
| − | #<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
| |
| − | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
| |
| − | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
| |
| − | :<math>|z|<\varepsilon</math>
| |
| − | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
| |
| − |
| |
| − | 2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
| |
| − | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
| |
| − | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
| |
| − | :<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
| |
| − | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
| |
| − |
| |
| − | A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
| |
| − |
| |
| − | :Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
| |
| − | ::''a'' * ''b'' = ''c''
| |
| − | :definíció jó.
| |
| − | Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
| |
| − | # <math>\infty+z=\infty </math>,
| |
| − | # <math>\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty</math>,
| |
| − | # <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
| |
| − | # <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
| |
| − | továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
| |
| − |
| |
| − | Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
| |
| − | # <math>\infty-\infty</math>,
| |
| − | # <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
| |
| − | # <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
| |
| − | # <math>\frac{0}{0}</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u'' és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
| |
| − | :<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
| |
| − | Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
| |
| − |
| |
| − | ''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
| |
| − | :<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
| |
| − |
| |
| − | ''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
| |
| − | :<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
| |
| − |
| |
| − | :<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
| |
| − | # <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
| |
| − | # <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
| |
| − | # <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
| |
| − | # <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
| |
| − | # <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
| |
| − |
| |
| − | ''Megoldás.''
| |
| − | 1. nemnulla ''z''-re:
| |
| − | :<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
| |
| − | de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
| |
| − |
| |
| − | 2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
| |
| − |
| |
| − | 3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
| |
| − | ::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
| |
| − |
| |
| − | 4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
| |
| − | csak a valós részt nézve:
| |
| − | :<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
| |
| − | az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.
| |
| − |
| |
| − | 5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
| |
| − | # <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
| |
| − | # <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
| |
| − |
| |
| − | 1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
| |
| − |
| |
| − | Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
| |
| − | :<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
| |
| − | ''z''<sub>0</sub> ≠ 0 esetén
| |
| − | :<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
| |
| − | ''z''<sub>0</sub> = 0 esetén:
| |
| − | :<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
| |
| − | ismert, hogy nincs határérték.
| |
| − |
| |
| − | 2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
| |
| − |
| |
| − | Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
| |
| − | :<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
| |
| − | így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
| |
| − | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
| |
| − | ==Differenciálhatóság==
| |
| − | ==='''R'''-differenciálhatóság===
| |
| − | Legyen ''f'' : '''C''' ⊃<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
| |
| − | :<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
| |
| − | vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
| |
| − | :<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
| |
| − | szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
| |
| − |
| |
| − | ''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>∈IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
| |
| − | :<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
| |
| − | ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
| |
| − |
| |
| − | Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
| |
| − | :<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
| |
| − |
| |
| − | A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
| |
| − | :<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
| |
| − | És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
| |
| − | ====Példák====
| |
| − | '''1.''' Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
| |
| − | :<math>f(z)=w\cdot z</math>
| |
| − | Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
| |
| − | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
| |
| − | w_1x-w_2y\\
| |
| − | w_1y+w_2x
| |
| − | \end{bmatrix}</math>
| |
| − | És a derivált:
| |
| − | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
| |
| − | w_1 & -w_2\\
| |
| − | w_2 & w_1
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − | Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
| |
| − | :<math>[z]=\begin{bmatrix}
| |
| − | a & -b\\
| |
| − | b & a
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − | a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
| |
| − | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
| |
| − | '''2.'''
| |
| − |
| |
| − | ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>
| |
| − |
| |
| − | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
| |
| − | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
| − | 2x & -2y\\
| |
| − | 2y & 2x
| |
| − | \end{pmatrix}</math>
| |
| − | azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
| |
| − | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | '''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
| |
| − |
| |
| − | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
| |
| − | :<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
| |
| − | 1 & 0\\
| |
| − | 0 & -1
| |
| − | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
| |
| − | azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
| |
| − | :<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
| |
| − | csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
| |
| − |
| |
| − | =='''C'''-differenciálhatóság==
| |
| − | A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
| |
| − | :<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
| |
| − | :<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
| |
| − | mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
| |
| − | :<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
| |
| − | mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
| − |
| |
| − | Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
| |
| − | :<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Pontbeli deriváltra példa a következő.
| |
| − |
| |
| − | '''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
| |
| − | :<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
| |
| − | 0, & z=0
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </math>
| |
| − | ''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
| |
| − | Ha ''n'' = 0, akkor
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
| |
| − | aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
| |
| − |
| |
| − | Ha ''n'' < 0, akkor
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
| |
| − | ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
| |
| − |
| |
| − | Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
| |
| − |
| |
| − | '''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
| |
| − | :1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
| |
| − | :2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
| |
| − |
| |
| − | ''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
| |
| − | Tekintsük a következő határértéket:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
| |
| − | ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
| |
| − | Ez ekvivalens a következővel:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
| |
| − | ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
| |
| − | Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
| |
| − | Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
| − | Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
| |
| − |
| |
| − | Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
| |
| − |
| |
| − | '''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] ∈ '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor
| |
| − | :<math>\begin{cases}
| |
| − | \partial_xu=\partial_yv\\
| |
| − | \partial_yu=-\partial_x v
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
