Matematika A3a 2008/5. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
− | ===Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat | + | ==Laplace-transzformáció== |
+ | |||
+ | :<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) | ||
+ | =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math> | ||
+ | |||
+ | ===Linearitás=== | ||
+ | : <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} | ||
+ | = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + | ||
+ | b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Deriváltak=== | ||
+ | : <math>\mathcal{L}\{f'\} | ||
+ | = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)</math> | ||
+ | : <math>\mathcal{L}\{f''\} | ||
+ | = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)</math> | ||
+ | |||
+ | ===Elemi függvények=== | ||
+ | : <math>\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}</math> | ||
+ | |||
+ | : <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | : <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | : <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat== | ||
:<math> | :<math> | ||
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> | y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> |
A lap 2016. március 6., 22:50-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laplace-transzformáció
Linearitás
Deriváltak
Elemi függvények
Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
Homogén lineáris d. egyenletrendszer
a)
b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel
Mo. a) Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:
- ,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
Megkeresendő tehát a
mátrix magja, ez:(-3t,t) és a
magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:
b)
- sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
- sX2 + 1 = X1 + 4X2
azaz
- X1(s − 2) = 3X2 + 1
- X2(s − 4) + 1 = X1
azaz
- 3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
- X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
4. gyakorlat |
6. gyakorlat |