Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Deriváltak)
(Laplace-transzformáció)
2. sor: 2. sor:
  
 
==Laplace-transzformáció==
 
==Laplace-transzformáció==
 
+
:''t'', ''s''>0
 
:<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s)  
 
:<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s)  
 
   =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>
 
   =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>

A lap 2016. március 6., 21:52-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Laplace-transzformáció

t, s>0
t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) 
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt

Linearitás

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Deriváltak

\mathcal{L}\{f'(t)\}
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''(t)\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)

Elemi függvények

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}


\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}


\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}

Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat


y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2

Mo.

L(y') = sYy(0)
L(y'') = s2Ysy(0) − y'(0)
L(5t)=\frac{5}{s^2}
s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}
s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}
Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}
Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}
Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}
Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}
\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.


y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t

Homogén lineáris d. egyenletrendszer

a)

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}= x_1+4x_2

b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel

Mo. a) Ha a feladat

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:

B=\left([s_1],[s_2]\right)\,,

akkor a megoldás

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,

azaz

\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,
\lambda_{1,2}=1;5\,

Megkeresendő tehát a

\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}

mátrix magja, ez:(-3t,t) és a

\begin{pmatrix}-3&3\\1&-1\end{pmatrix}

magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:

\begin{pmatrix}-3c_1e^t+c_1e^{5t}\\c_2e{t}+c_2e^{5t}\end{pmatrix}

b)

sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
sX2 + 1 = X1 + 4X2

azaz

X1(s − 2) = 3X2 + 1
X2(s − 4) + 1 = X1

azaz

3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)(-s^2+6s-5}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}=\frac{...}{s-5}+\frac{...}{s-1}


4. gyakorlat
6. gyakorlat
Személyes eszközök