Matematika A3a 2008/5. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformáció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
==Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat== | ==Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | Mo. | ||
+ | :<math>\mathcal{L}\{y\}=Y\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math> s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,</math> | ||
+ | Parciális törtekre bontás: | ||
+ | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,</math> | ||
+ | :<math>s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,</math> | ||
+ | Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz | ||
+ | :<math>C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,</math><br><br> | ||
+ | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> | ||
+ | :<math>Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> | ||
+ | |||
+ | :<math>y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,</math><br><br> | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | |||
:<math> | :<math> | ||
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> | y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> |
A lap 2016. március 6., 23:06-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laplace-transzformáció
- t, s>0
Linearitás
Deriváltak
Elemi függvények
Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat
1.
Mo.
Parciális törtekre bontás:
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
2.
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
Homogén lineáris d. egyenletrendszer
a)
b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel
Mo. a) Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:
- ,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
Megkeresendő tehát a
mátrix magja, ez:(-3t,t) és a
magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:
b)
- sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
- sX2 + 1 = X1 + 4X2
azaz
- X1(s − 2) = 3X2 + 1
- X2(s − 4) + 1 = X1
azaz
- 3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
- X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
4. gyakorlat |
6. gyakorlat |