Matematika A3a 2008/5. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi függvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén lineáris d. egyenletrendszer) |
||
77. sor: | 77. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | ||
− | === | + | '''3.''' |
− | + | :<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math> | |
+ | :<math>\dot{x_2}=2x_1+x_2</math> | ||
+ | A <math>x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2</math> kezdetiérték feltétellel. | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>sX_1-2=X_1+2X_2\,</math> | ||
+ | :<math>sX_1+2=2X_1+X_2\,</math> | ||
+ | Összeadva őket: | ||
+ | :<math>s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,</math> | ||
+ | :<math>(s-3)(X_1+X_2)=0\,</math> | ||
+ | Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha <math>X_2=-X_1</math>. Innen | ||
+ | :<math>sX_1-2=X_1-2X_1\,</math> | ||
+ | :<math>(s+1)X_1=2\,</math> | ||
+ | :<math>X_1=2\frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math>X_2=-2\frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | És végül | ||
+ | :<math>x_1(t)=2e^{-t}</math> | ||
+ | :<math>x_2(t)=-2e^{-t}</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> | ||
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | :<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | ||
− | + | A <math>x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1</math> kezdetiérték feltétellel. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ''Mo.'' | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
:<math>sX_1-1=2X_1+3X_2</math> | :<math>sX_1-1=2X_1+3X_2</math> | ||
:<math>sX_2+1= X_1+4X_2</math> | :<math>sX_2+1= X_1+4X_2</math> |
A lap 2016. március 6., 22:25-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laplace-transzformáció
- t, s>0
Linearitás
Deriváltak
Elemi függvények
Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat
1.
Mo.
Parciális törtekre bontás:
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
2.
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
3.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
Összeadva őket:
Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen
És végül
- x1(t) = 2e − t
- x2(t) = − 2e − t
4.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
- sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
- sX2 + 1 = X1 + 4X2
azaz
- X1(s − 2) = 3X2 + 1
- X2(s − 4) + 1 = X1
azaz
- 3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
- X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
4. gyakorlat |
6. gyakorlat |