Matematika A3a 2008/5. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megoldási stratégiák) |
||
(egy szerkesztő 13 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
− | == | + | ==Megoldási stratégiák== |
+ | :nemlineáris | ||
+ | ::szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx | ||
+ | :::szeparábilisra visszavezethető: | ||
+ | ::::y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra | ||
+ | ::::y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra | ||
+ | ::egzakt | ||
+ | :::egzaktra visszavezethető | ||
+ | ::::m=m(x) | ||
+ | ::::m=m(y) | ||
+ | :lineáris | ||
+ | ::függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x). | ||
+ | :::Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást | ||
+ | ::állandó együtthatós: | ||
+ | :::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval | ||
+ | ::::egyenlet másodrendű: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=... | ||
+ | ::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=..., | ||
+ | :::általános megoldást keresünk: | ||
+ | ::::egyenlet: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek) | ||
+ | ::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai | ||
+ | |||
+ | ==Laplace-transzformáció== | ||
+ | :''t'', ''s''>0 | ||
:<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) | :<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) | ||
=\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math> | =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math> | ||
12. sor: | 34. sor: | ||
===Deriváltak=== | ===Deriváltak=== | ||
− | : <math>\mathcal{L}\{f'\} | + | : <math>\mathcal{L}\{f'(t)\} |
− | = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)</math> | + | = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math> |
− | : <math>\mathcal{L}\{f''\} | + | : <math>\mathcal{L}\{f''(t)\} |
− | = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)</math> | + | = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math> |
===Elemi függvények=== | ===Elemi függvények=== | ||
22. sor: | 44. sor: | ||
: <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math> | : <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math> | ||
+ | : <math>\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}</math> | ||
: <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math> | : <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math> | ||
28. sor: | 51. sor: | ||
: <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> | : <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> | ||
− | ==Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat== | + | ==Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat== |
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | Mo. | ||
+ | :<math>\mathcal{L}\{y\}=Y\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math> s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math> Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,</math> | ||
+ | Parciális törtekre bontás: | ||
+ | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,</math> | ||
+ | :<math>s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,</math> | ||
+ | Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz | ||
+ | :<math>C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,</math><br><br> | ||
+ | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> | ||
+ | :<math>Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> | ||
+ | |||
+ | :<math>y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,</math><br><br> | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | |||
:<math> | :<math> | ||
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> | y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> | ||
54. sor: | 99. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | '' | + | ==Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel== |
− | :<math>\ | + | |
− | + | '''3.''' | |
− | :<math> | + | :<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math> |
− | akkor | + | :<math>\dot{x_2}=2x_1+x_2</math> |
− | :<math>\ | + | A <math>x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2</math> kezdetiérték feltétellel. |
− | + | ||
− | :<math>( | + | ''Mo.'' |
− | + | :<math>sX_1-2=X_1+2X_2\,</math> | |
− | :<math>\ | + | :<math>sX_1+2=2X_1+X_2\,</math> |
− | :<math>\ | + | Összeadva őket: |
− | + | :<math>s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,</math> | |
+ | :<math>(s-3)(X_1+X_2)=0\,</math> | ||
+ | Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha <math>X_2=-X_1</math>. Innen | ||
+ | :<math>sX_1-2=X_1-2X_1\,</math> | ||
+ | :<math>(s+1)X_1=2\,</math> | ||
+ | :<math>X_1=2\frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | :<math>X_2=-2\frac{1}{s+1}\,</math> | ||
+ | És végül | ||
+ | :<math>x_1(t)=2e^{-t}</math> | ||
+ | :<math>x_2(t)=-2e^{-t}</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
+ | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,</math> | ||
+ | :<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2\,</math> | ||
+ | A <math>x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\,</math> kezdetiérték feltétellel. | ||
− | + | ''Mo.'' | |
− | + | :<math>sX_1-1=2X_1+3X_2\,</math> | |
− | + | :<math>sX_2+1= X_1+4X_2\,</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math>sX_1-1=2X_1+3X_2</math> | + | |
− | :<math>sX_2+1= X_1+4X_2</math> | + | |
azaz | azaz | ||
− | :<math>X_1(s-2)=3X_2+1</math> | + | :<math>X_1(s-2)=3X_2+1\,</math> |
− | :<math>X_2(s-4)+1=X_1</math> | + | :<math>X_2(s-4)+1=X_1\,</math> |
azaz | azaz | ||
− | :<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)</math> | + | :<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,</math> |
− | :<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3</math> | + | :<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,</math> |
− | :<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2) | + | :<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,</math> |
+ | ... | ||
+ | ['''5.''' | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | ] | ||
<center> | <center> |
A lap jelenlegi, 2017. november 4., 18:14-kori változata
Tartalomjegyzék |
Megoldási stratégiák
- nemlineáris
- szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
- szeparábilisra visszavezethető:
- y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
- y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
- szeparábilisra visszavezethető:
- egzakt
- egzaktra visszavezethető
- m=m(x)
- m=m(y)
- egzaktra visszavezethető
- szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
- lineáris
- függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
- Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
- állandó együtthatós:
- kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
- egyenlet másodrendű: ay''+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
- egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
- általános megoldást keresünk:
- egyenlet: ay''+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
- egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai
- kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
- függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
Laplace-transzformáció
- t, s>0
Linearitás
Deriváltak
Elemi függvények
Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat
1.
Mo.
Parciális törtekre bontás:
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
2.
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel
3.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
Összeadva őket:
Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen
És végül
- x1(t) = 2e − t
- x2(t) = − 2e − t
4.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
azaz
azaz
...
[5.
]
4. gyakorlat |
6. gyakorlat |