Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „ ==Feladat folytonosságra== '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az :<math>f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{h…”)
 
(Megoldási stratégiák)
 
(egy szerkesztő 26 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 +
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
  
==Feladat folytonosságra==
+
==Megoldási stratégiák==
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
+
:<math>f(z)=\left\{
+
\begin{matrix}
+
\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
+
\\
+
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
+
\end{matrix}
+
\right.</math>
+
  
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:
+
:nemlineáris
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
::szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
+
:::szeparábilisra visszavezethető:
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
+
::::y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
\end{pmatrix}</math>  
+
::::y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
 +
::egzakt
 +
:::egzaktra visszavezethető
 +
::::m=m(x)
 +
::::m=m(y)
 +
:lineáris
 +
::függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
 +
:::Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
 +
::állandó együtthatós:
 +
:::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
 +
::::egyenlet másodrendű: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
 +
::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
 +
:::általános megoldást keresünk:
 +
::::egyenlet: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x)  próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
 +
::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai
  
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
+
==Laplace-transzformáció==
 +
:''t'', ''s''>0
 +
:<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s)  
 +
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>
  
A második tényező szintén nem.
+
===Linearitás===
 +
: <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
 +
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
 +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
  
=='''C''' kompaktifikálása==
+
===Deriváltak===
''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a ''K''-t. Szimbolikusan:
+
: <math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
:''K'' kompakt, ha minden (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> halmazrendszerhez, melyre
+
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>
:# &Omega;<sub>i</sub> nyílt minden i&isin;I-re és
+
: <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
:# ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub>
+
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>
:létezik J &sube; I véges indexhalmaz, hogy ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;J</sub>
+
'''R'''<sup>N</sup>-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga '''C''' nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont '''C''' egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével '''C''' kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely '''R'''<sup>3</sup>-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.
+
  
 +
===Elemi függvények===
 +
: <math>\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}</math>
  
A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az '''R'''<sup>3</sup>-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az <nowiki>[xy]</nowiki> síkra, mint a '''C''' komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú ''P'' pólust és egy ''a'' + ''b''i komplex szám esetén az (''a'',''b'',0) pontot kössük össze ''P''-vel egy ''e'' egyenes által. Ekkor az ''e'' egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az ''a'' + ''b''i-nek megfelelő pontot. Ha az ''a'' + ''b''i-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:
+
: <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math>
:<math>a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>
+
  
'''Megjegyzés.''' Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis
+
: <math>\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}</math>  
:<math>z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\,</math> és <math>w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,</math>
+
Ekkor a ''z'' konjugáltját a ''w''-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:
+
:<math>w\cdot \overline{z}=1\,</math>
+
Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy ''w'' nem más, mint a ''z'' ''inverziója'' az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a 
+
:<math>w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,</math>
+
leképezés.
+
Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.
+
  
 +
: <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math>
  
Ha tehát a '''C'''-hez hozzáveszünk egy &infin;-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a ''P'' pólust, akkor a
 
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
 
halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell &infin; gömbi környezeteit.
 
Ezek a következő alakú halmazok lesznek:
 
:<math>\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,</math>
 
ahol ''r'' > 0.
 
  
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy '''C'''U{&infin;} ''kompakt''!
+
: <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math>
  
''(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)''
+
==Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat==
 +
'''1.'''
 +
:<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math>
  
Ha '''C'''U{&infin;}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor &infin;-t is lefedi belőlük egy, mondjuk ''U''. ''U'' lefedi az &infin; egy gömbi környezetét, mondjuk B<sub>r</sub>(&infin;)-t. Elegendő tehát tekintenünk '''C'''U{&infin;} lefedéséhez a halmazrendszerből az ''U''-t és a B<sub>r</sub>(&infin;) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B<sub>r</sub>(&infin;) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.
+
Mo.
+
:<math>\mathcal{L}\{y\}=Y\,</math>
==Határérték==
+
Komplex függvény '''C'''-beli pontban vett '''C'''-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az '''R'''<sup>2</sup> esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.
+
  
A &infin; miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett, '''C'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> az ''A'' torlódási pontja, azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u}. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha
+
:<math> s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,</math>
:minden &epsilon; > 0 esetén létezik olyan &delta; > 0, hogy minden ''z'' &isin; ''A'' &cap; B<sub>&delta;</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''z'') &isin; B<sub>&epsilon;</sub>(''v'')
+
:<math> s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,</math>
 +
:<math> Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,</math>
 +
:<math> Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,</math>
 +
:<math> Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,</math>
 +
Parciális törtekre bontás:
 +
:<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,</math>
 +
:<math>s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,</math>
 +
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
 +
:<math>C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,</math><br><br>
 +
:<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br>
 +
:<math>Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br>
  
ahol természetesen a &infin; környezetei a már említett módon értendők.  
+
:<math>y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,</math><br><br>
 +
'''2.'''
  
'''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy
+
:<math>
#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
+
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math>
#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
+
'''Mo.'''
+
:<math>L(y')=sY-y(0)</math>
1. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
+
:<math>L(y'')=s^2Y-sy(0)-y'(0)</math>
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+
:<math>L(5t)=\frac{5}{s^2}</math>
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+
:<math>s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
:<math>|z|<\varepsilon</math>
+
:<math>s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
+
:<math>Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}</math>
 +
:<math>Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}</math>
 +
:<math>Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}</math>
 +
:<math>Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
 +
:<math>\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
 +
A gyököket beírva:
 +
s=0-ra B=5/9
  
2. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
+
s=1-re D=16/(-8)=-2
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
+
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+
:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
+
  
A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
+
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
  
:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin;  szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
+
s=2-re A=50/81
::''a'' * ''b'' = ''c''
+
:definíció jó.
+
Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
+
  
'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
+
Visszatranszf.
# <math>\infty+z=\infty </math>,
+
:<math>
# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>, 
+
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math>
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
+
# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
+
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
+
  
Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
+
==Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel==
  
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
+
'''3.'''
# <math>\infty-\infty</math>,
+
:<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math>
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
+
:<math>\dot{x_2}=2x_1+x_2</math>
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
+
A <math>x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2</math> kezdetiérték feltétellel.
# <math>\frac{0}{0}</math>
+
  
 +
''Mo.''
 +
:<math>sX_1-2=X_1+2X_2\,</math>
 +
:<math>sX_1+2=2X_1+X_2\,</math>
 +
Összeadva őket:
 +
:<math>s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,</math>
 +
:<math>(s-3)(X_1+X_2)=0\,</math>
 +
Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha <math>X_2=-X_1</math>. Innen
 +
:<math>sX_1-2=X_1-2X_1\,</math>
 +
:<math>(s+1)X_1=2\,</math>
 +
:<math>X_1=2\frac{1}{s+1}\,</math>
 +
:<math>X_2=-2\frac{1}{s+1}\,</math>
 +
És végül
 +
:<math>x_1(t)=2e^{-t}</math>
 +
:<math>x_2(t)=-2e^{-t}</math>
  
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
+
'''4.'''
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
+
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,</math>
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
+
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2\,</math>
 +
A <math>x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\,</math> kezdetiérték feltétellel.
  
''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
+
''Mo.''  
:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
+
:<math>sX_1-1=2X_1+3X_2\,</math>
 +
:<math>sX_2+1= X_1+4X_2\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>X_1(s-2)=3X_2+1\,</math>
 +
:<math>X_2(s-4)+1=X_1\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,</math>
 +
:<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,</math>
 +
:<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,</math>
 +
...
  
'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
+
['''5.'''  
 +
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math>
 +
]
  
''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
+
<center>
:<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
+
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/6. gyakorlat |6. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
  
<math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
 
  
:<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
 
  
<math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
 
  
'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
 
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
 
# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
 
# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
 
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
 
# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
 
  
''Megoldás.''
+
[[Kategória:Matematika A3]]
1. nemnulla ''z''-re:
+
:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
+
de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
+
 
+
2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
+
 
+
3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
+
::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
+
 
+
4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
+
csak a valós részt nézve:
+
:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
+
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték. 
+
 
+
5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
+
 
+
 
+
'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
+
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
+
# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
+
+
1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
+
 
+
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
+
:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
+
''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén
+
:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
+
''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén:
+
:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
+
ismert, hogy nincs határérték.
+
 
+
2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
+
 
+
Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
+
:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
+
így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
+
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
+
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
+

A lap jelenlegi, 2017. november 4., 18:14-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Megoldási stratégiák

nemlineáris
szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
szeparábilisra visszavezethető:
y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
egzakt
egzaktra visszavezethető
m=m(x)
m=m(y)
lineáris
függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
állandó együtthatós:
kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
egyenlet másodrendű: ay''+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
általános megoldást keresünk:
egyenlet: ay''+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai

Laplace-transzformáció

t, s>0
t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) 
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt

Linearitás

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Deriváltak

\mathcal{L}\{f'(t)\}
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''(t)\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)

Elemi függvények

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}
\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}


\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}

Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat

1.

y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,

Mo.

\mathcal{L}\{y\}=Y\,
 s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,
 s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,
 Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,

Parciális törtekre bontás:

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,
s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,

Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz

C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,

2.


y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2

Mo.

L(y') = sYy(0)
L(y'') = s2Ysy(0) − y'(0)
L(5t)=\frac{5}{s^2}
s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}
s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}
Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}
Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}
Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}
Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}
\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.


y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t

Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel

3.

\dot{x_1}=x_1+2x_2
\dot{x_2}=2x_1+x_2

A x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2 kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-2=X_1+2X_2\,
sX_1+2=2X_1+X_2\,

Összeadva őket:

s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,
(s-3)(X_1+X_2)=0\,

Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen

sX_1-2=X_1-2X_1\,
(s+1)X_1=2\,
X_1=2\frac{1}{s+1}\,
X_2=-2\frac{1}{s+1}\,

És végül

x1(t) = 2et
x2(t) = − 2et

4.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,
\dot{x_2}= x_1+4x_2\,

A x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\, kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-1=2X_1+3X_2\,
sX_2+1= X_1+4X_2\,

azaz

X_1(s-2)=3X_2+1\,
X_2(s-4)+1=X_1\,

azaz

3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,
X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,
X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,

...

[5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}

]

4. gyakorlat
6. gyakorlat
Személyes eszközök