Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Megoldási stratégiák)
 
(egy szerkesztő 22 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
'''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
+
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
# <math>z\mapsto w + z\,</math>
+
# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
+
# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math> 
+
# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math> 
+
  
''Megoldás.''
+
==Megoldási stratégiák==
  
Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
+
:nemlineáris
 +
::szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
 +
:::szeparábilisra visszavezethető:
 +
::::y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
 +
::::y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
 +
::egzakt
 +
:::egzaktra visszavezethető
 +
::::m=m(x)
 +
::::m=m(y)
 +
:lineáris
 +
::függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
 +
:::Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
 +
::állandó együtthatós:
 +
:::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
 +
::::egyenlet másodrendű: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
 +
::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
 +
:::általános megoldást keresünk:
 +
::::egyenlet: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
 +
::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai
  
2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
+
==Laplace-transzformáció==
 +
:''t'', ''s''>0
 +
:<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s)
 +
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>
  
3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
+
===Linearitás===
 +
: <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
 +
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
 +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
  
Végül a reciprok:
+
===Deriváltak===
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
+
: <math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
+
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>
:<math>\begin{pmatrix}
+
: <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
x \\
+
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>
y
+
\end{pmatrix}\mapsto
+
\begin{pmatrix}
+
\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
+
\cfrac{-y}{x^2+y^2}
+
\end{pmatrix}</math>
+
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+
  
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
+
===Elemi függvények===
:<math>f(z)=\left\{
+
: <math>\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}</math>
\begin{matrix}
+
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
+
\\
+
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
+
\end{matrix}
+
\right.</math>  
+
  
''Megoldás.''
+
: <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math>
+
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
+
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
+
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
+
\end{pmatrix}</math>  
+
  
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
+
: <math>\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}</math>  
:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
+
és
+
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
+
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
+
  
 +
: <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math>
  
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
 
  
'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
+
: <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math>
# ''f'' + ''g''
+
# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
+
# <math>\overline{f}</math>  
+
# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
+
is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban. 
+
  
 +
==Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat==
 +
'''1.'''
 +
:<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math>
  
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
+
Mo.
 +
:<math>\mathcal{L}\{y\}=Y\,</math>
  
==Feladat folytonosságra==
+
:<math> s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,</math>
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
+
:<math> s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,</math>
:<math>f(z)=\left\{
+
:<math> Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,</math>
\begin{matrix}
+
:<math> Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,</math>
\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
+
:<math> Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,</math>
\\
+
Parciális törtekre bontás:
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
+
:<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,</math>
\end{matrix}
+
:<math>s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,</math>
\right.</math>  
+
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
 +
:<math>C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,</math><br><br>
 +
:<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br>
 +
:<math>Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br>
  
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:
+
:<math>y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,</math><br><br>
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
+
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
+
\end{pmatrix}</math>
+
 
+
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
+
 
+
A második tényező szintén nem.
+
 
+
==Határérték==
+
Komplex függvény '''C'''-beli pontban vett '''C'''-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az '''R'''<sup>2</sup> esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.
+
 
+
A &infin; miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett, '''C'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> az ''A'' torlódási pontja, azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u}. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha
+
:minden &epsilon; > 0 esetén létezik olyan &delta; > 0, hogy minden ''z'' &isin; ''A'' &cap; B<sub>&delta;</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''z'') &isin; B<sub>&epsilon;</sub>(''v'')
+
 
+
ahol természetesen a &infin; környezetei a már említett módon értendők.
+
 
+
'''Feladat.'''  Igazoljuk definíció szerint, hogy
+
#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
+
#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
+
+
1. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
+
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+
:<math>|z|<\varepsilon</math>
+
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
+
 
+
2. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
+
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
+
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+
:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
+
 
+
A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
+
 
+
:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin;  szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
+
::''a'' * ''b'' = ''c''
+
:definíció jó.
+
Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
+
 
+
'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
+
# <math>\infty+z=\infty </math>,
+
# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>, 
+
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
+
# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
+
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
+
 
+
Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
+
 
+
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
+
# <math>\infty-\infty</math>,
+
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
+
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
+
# <math>\frac{0}{0}</math>
+
 
+
 
+
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
+
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
+
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
+
 
+
''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
+
:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
+
 
+
'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
+
 
+
''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
+
:<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
+
 
+
<math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
+
 
+
:<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
+
 
+
<math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
+
 
+
'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
+
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
+
# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
+
# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
+
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
+
# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
+
 
+
''Megoldás.''
+
1. nemnulla ''z''-re:
+
:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
+
de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
+
 
+
2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
+
 
+
3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
+
::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
+
 
+
4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
+
csak a valós részt nézve:
+
:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
+
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték. 
+
 
+
5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
+
 
+
 
+
'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
+
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
+
# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
+
+
1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
+
 
+
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
+
:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
+
''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén
+
:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
+
''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén:
+
:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
+
ismert, hogy nincs határérték.
+
 
+
2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
+
 
+
Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
+
:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
+
így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
+
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
+
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
+
==Differenciálhatóság==
+
==='''R'''-differenciálhatóság===
+
Legyen ''f'' :  '''C''' &sup;<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
+
:<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
+
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
+
:<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
+
szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
+
 
+
''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
+
 
+
'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
+
:<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
+
ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
+
 
+
Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
+
:<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
+
 
+
A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
+
:<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
+
És persze, ha  ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
+
====Példák====
+
'''1.''' Legyen ''w'' &isin; '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
+
:<math>f(z)=w\cdot z</math>
+
Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
+
:<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
+
w_1x-w_2y\\
+
w_1y+w_2x
+
\end{bmatrix}</math>
+
És a derivált:
+
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
+
w_1 & -w_2\\
+
w_2 & w_1
+
\end{bmatrix}
+
</math>
+
Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
+
:<math>[z]=\begin{bmatrix}
+
a & -b\\
+
b & a
+
\end{bmatrix}
+
</math>
+
a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
+
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
+
 
'''2.'''
 
'''2.'''
  
''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>  
+
:<math>
 
+
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math>
Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
+
'''Mo.'''
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
+
:<math>L(y')=sY-y(0)</math>
2x & -2y\\
+
:<math>L(y'')=s^2Y-sy(0)-y'(0)</math>
2y & 2x
+
:<math>L(5t)=\frac{5}{s^2}</math>
\end{pmatrix}</math>
+
:<math>s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
+
:<math>s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
+
:<math>Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}</math>
</math>
+
:<math>Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}</math>
 
+
:<math>Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}</math>
'''3.''' Számítsuk ki az  <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
+
:<math>Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
 
+
:<math>\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
+
A gyököket beírva:
:<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
+
s=0-ra B=5/9
1 & 0\\
+
0 & -1
+
\end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
+
azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
+
:<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
+
csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
+
  
=='''C'''-differenciálhatóság==
+
s=1-re D=16/(-8)=-2
A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
+
:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
+
:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
+
mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
+
:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
+
mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
+
  
'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
+
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
  
Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
+
s=2-re A=50/81
  
Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
+
Visszatranszf.
:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
+
:<math>
 +
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math>
  
Pontbeli deriváltra példa a következő.
+
==Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel==
  
'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
+
'''3.'''
:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
+
:<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math>
0, & z=0
+
:<math>\dot{x_2}=2x_1+x_2</math>
\end{cases}
+
A <math>x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2</math> kezdetiérték feltétellel.
</math>
+
''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
+
:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
+
Ha ''n'' = 0, akkor
+
:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>  
+
aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
+
  
Ha ''n'' < 0, akkor
+
''Mo.''
:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
+
:<math>sX_1-2=X_1+2X_2\,</math>
ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
+
:<math>sX_1+2=2X_1+X_2\,</math>
 +
Összeadva őket:
 +
:<math>s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,</math>
 +
:<math>(s-3)(X_1+X_2)=0\,</math>
 +
Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha <math>X_2=-X_1</math>. Innen
 +
:<math>sX_1-2=X_1-2X_1\,</math>
 +
:<math>(s+1)X_1=2\,</math>
 +
:<math>X_1=2\frac{1}{s+1}\,</math>
 +
:<math>X_2=-2\frac{1}{s+1}\,</math>
 +
És végül
 +
:<math>x_1(t)=2e^{-t}</math>
 +
:<math>x_2(t)=-2e^{-t}</math>
  
Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.  
+
'''4.'''
 +
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,</math>
 +
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2\,</math>
 +
A <math>x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\,</math> kezdetiérték feltétellel.
  
'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
+
''Mo.''  
:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
+
:<math>sX_1-1=2X_1+3X_2\,</math>
:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
+
:<math>sX_2+1= X_1+4X_2\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>X_1(s-2)=3X_2+1\,</math>
 +
:<math>X_2(s-4)+1=X_1\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,</math>
 +
:<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,</math>
 +
:<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,</math>
 +
...
  
''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w' komplex szám.
+
['''5.'''  
Tekintsük a következő határértéket:
+
:<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math>
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
+
]
Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
+
Azaz
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
+
Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
+
Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
+
  
Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.
+
<center>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/6. gyakorlat |6. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
  
'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor
 
:<math>\begin{cases}
 
\partial_xu=\partial_yv\\
 
\partial_yu=-\partial_x v
 
\end{cases}</math>
 
  
'''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
 
:<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
 
  
'''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
 
  
'''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
 
  
'''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap jelenlegi, 2017. november 4., 18:14-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Megoldási stratégiák

nemlineáris
szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
szeparábilisra visszavezethető:
y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
egzakt
egzaktra visszavezethető
m=m(x)
m=m(y)
lineáris
függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x).
Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
állandó együtthatós:
kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
egyenlet másodrendű: ay''+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
általános megoldást keresünk:
egyenlet: ay''+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai

Laplace-transzformáció

t, s>0
t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) 
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt

Linearitás

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Deriváltak

\mathcal{L}\{f'(t)\}
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''(t)\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)

Elemi függvények

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}
\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}


\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}

Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat

1.

y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,

Mo.

\mathcal{L}\{y\}=Y\,
 s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,
 s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,
 Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,

Parciális törtekre bontás:

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,
s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,

Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz

C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,

2.


y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2

Mo.

L(y') = sYy(0)
L(y'') = s2Ysy(0) − y'(0)
L(5t)=\frac{5}{s^2}
s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}
s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}
Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}
Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}
Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}
Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}
\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.


y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t

Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel

3.

\dot{x_1}=x_1+2x_2
\dot{x_2}=2x_1+x_2

A x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2 kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-2=X_1+2X_2\,
sX_1+2=2X_1+X_2\,

Összeadva őket:

s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,
(s-3)(X_1+X_2)=0\,

Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen

sX_1-2=X_1-2X_1\,
(s+1)X_1=2\,
X_1=2\frac{1}{s+1}\,
X_2=-2\frac{1}{s+1}\,

És végül

x1(t) = 2et
x2(t) = − 2et

4.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,
\dot{x_2}= x_1+4x_2\,

A x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\, kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-1=2X_1+3X_2\,
sX_2+1= X_1+4X_2\,

azaz

X_1(s-2)=3X_2+1\,
X_2(s-4)+1=X_1\,

azaz

3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,
X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,
X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,

...

[5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}

]

4. gyakorlat
6. gyakorlat
Személyes eszközök